Skip to main content

Теория: Квадратичные неравенства с положительным дискриминантом и известным графиком (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство 

\(\displaystyle x^2 - 3x -4\ge0{\small ,}\)

если известен график параболы \(\displaystyle y=x^2 - 3x -4{\small.}\)

 
\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Для решения неравенства \(\displaystyle x^2 - 3x -4\ge 0\) надо найти те значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) которые дают значение \(\displaystyle x^2 - 3x -4 \) больше либо равно нуля.

Для параболы \(\displaystyle y=x^2 - 3x -4 \) это означает, что надо найти  те значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y \) больше либо равно нуля.

То есть нужно определить те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.

Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней:


Определим координаты \(\displaystyle x\) данных точек:


Получаем, что это точки, лежащие слева и справа от точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX\) (включая точки пересечения, так как в них \(\displaystyle x^2 - 3x -4=0\)).

То есть это все точки левее \(\displaystyle -1 \) и правее \(\displaystyle 4{\small ,}\) а также сами точки \(\displaystyle -1 \) и \(\displaystyle 4{\small :}\)


Таким образом, решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:

На прямой изображены все точки, координата \(\displaystyle x \) которых меньше либо равна \(\displaystyle -1 \) или больше либо равна \(\displaystyle 4{ \small .} \)

То есть это все точки, для которых \(\displaystyle x\le -1 \) или \(\displaystyle x\ge 4{\small .} \)

Переписывая это в виде интервала, получаем:

\(\displaystyle x\in (-\infty;\, -1]\cup [4;\, +\infty){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\, -1]\cup [4;\, +\infty){\small .}\)