Skip to main content

Теория: Решение квадратичного неравенства геометрическим способом (в стадии наполнения)

Задание

Решите квадратичное неравенство, используя график квадратичной функции:

\(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small .}\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small .} \)

Для параболы \(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y\ge 0{\small .} \)

То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.

Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат как выше точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) так  и на самой оси.

Значит, для решения неравенства \(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0 \) надо:

  • найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small ;} \)
  • начертить график параболы \(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) с учетом найденных точек пересечения;
  • записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение

\(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small .} \)

Квадратное уравнение \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0\) имеет корни \(\displaystyle x_1=-10{ \small ,}\, x_2=2 \)

Вынесем общий множитель за скобки:

\(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small ,} \)

\(\displaystyle -3(x^2+8x-20)=0{\small .} \)

Разделим обе части уравнения на \(\displaystyle -3{\small : } \)

\(\displaystyle -3(x^2+8x-20)=0 \,| :(\color{red}{ -3}) \)

\(\displaystyle x^2+8x-20=0{\small .} \)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=8^2-4\cdot 1\cdot (-20){\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=144=12^2{\small . } \)

Тогда корни уравнения равны

\(\displaystyle x_{1{ \small ,}2}= \frac{ -b\pm \sqrt{ \rm D} }{ 2a }{\small ; }\)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -8+\sqrt{ 144} }{ 2 }{ \small ,}\, x_2=\frac{ -8-\sqrt{ 144} }{ 2 } { \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -8+12}{ 2 }{ \small ,}\, x_2=\frac{ -8-12 }{ 2 } { \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=2{ \small ,}\, x_2=-10 { \small .}\)

Начертим график параболы с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small :} \)

 

Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней:


Определим координаты \(\displaystyle x\) данных точек:


Получаем, что это точки, лежащие слева и справа от точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX\) (включая точки пересечения, так как в них \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0\)).

Следовательно, искомое решение – это все точки прямой левее \(\displaystyle -10\) и правее \(\displaystyle 2{\small ,}\) а также сами точки \(\displaystyle -10\) и \(\displaystyle 2{\small :}\)


Таким образом, решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:

На прямой изображены все точки, координата \(\displaystyle x \) которых больше либо равна \(\displaystyle -10 \) и меньше либо равна \(\displaystyle 2{ \small .} \)

То есть это все точки, для которых \(\displaystyle -10\le x\le 2{\small .} \)

Переписывая это в виде интервала, получаем:

\(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)