Skip to main content

Теория: Решение квадратичного неравенства геометрическим способом (в стадии наполнения)

Задание

Решите квадратичное неравенство, используя график квадратичной функции:

\(\displaystyle 4x^2-12x+9>0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \)
(-\infty;\frac{3}{2})\cup (\frac{3}{2};+\infty)
Решение

Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle 4x^2-12x+9>0{\small .} \)

Для параболы \(\displaystyle y=4x^2-12x+9 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y>0{\small .} \)

То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small . }\)

Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат выше точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)

Значит, для решения неравенства \(\displaystyle 4x^2-12x+9>0 \) надо:

  • найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle 4x^2-12x+9=0{\small ;} \)
  • начертить график параболы \(\displaystyle y=4x^2-12x+9 \) с учетом найденных точек пересечения;
  • записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих выше оси \(\displaystyle \rm OX{ \small .} \)

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение

\(\displaystyle 4x^2-12x+9=0{\small .} \)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=0{\small . } \)

Поскольку дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень (два совпадающих).

Получаем:

\(\displaystyle x= \frac{ -b}{ 2a }{\small ; }\)

\(\displaystyle x=\frac{ -(-12)}{ 2\cdot 4 } { \small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{ 3}{ 2 }{ \small .}\)

Начертим график параболы. Так как дискриминант \(\displaystyle {\rm D}=0{ \small ,} \) то парабола имеет одну точку пересечения с осью \(\displaystyle \rm OX \) (касается ее) в точке \(\displaystyle x=\frac{ 3}{ 2 }{\small .} \)

Получаем:


Выделим красным цветом точки параболы, лежащие выше оси \(\displaystyle \rm OX{\small : }\)


Точка касания параболы оси \(\displaystyle \rm OX \) при \(\displaystyle x=\frac{ 3}{ 2 }\) лежит на этой оси и не попадает в область, лежащую выше оси \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)

Значит, подходят все точки параболы, за исключением точки \(\displaystyle x=\frac{ 3}{ 2 }{\small .} \)

Записывая это в виде интервала, получаем:

\(\displaystyle x\in (-\infty;\frac{ 3}{ 2 })\cup (\frac{ 3}{ 2 };+\infty){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\frac{ 3}{ 2 })\cup (\frac{ 3}{ 2 };+\infty){\small .}\)