Skip to main content

Теория: 01 Оптимизация, максимальное или минимальное значение

Задание

У фермера есть два поля, каждое площадью \(\displaystyle 15\) гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет \(\displaystyle 400\) ц/га, а на втором — \(\displaystyle 300\) ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет \(\displaystyle 250\) ц/га, а на втором — \(\displaystyle 400\) ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене \(\displaystyle 2000\) руб. за центнер, а свёклу — по цене \(\displaystyle 3000\) руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

рублей

Решение

Пусть \(\displaystyle x\) га засеяно картофелем на первом поле, тогда \(\displaystyle 15-x\) га засеяно свеклой.

Пусть \(\displaystyle y\) га засеяно картофелем на втором поле, тогда \(\displaystyle 15-y\) га засеяно свеклой.

Первое поле:

картофель - \(\displaystyle x\cdot400\) ц

свекла - \(\displaystyle (15-x)\cdot250\) ц

Второе поле:

картофель - \(\displaystyle y\cdot300\) ц

свекла - \(\displaystyle (15-y)\cdot400\) ц

\(\displaystyle S=2000\cdot(x\cdot400+y\cdot300)+3000((15-x)\cdot250 +(15-y)\cdot400)\)

\(\displaystyle \frac{S}{10000}=2\cdot(40x+30y)+3(15\cdot25-25x+40\cdot15-40y)=\)

\(\displaystyle =80x-75x+60y-120+3\cdot15\cdot25+3\cdot40\cdot15=\)

\(\displaystyle =5x-60y+2925-МАКСИМАЛЬНО\)

Для того, чтобы выражение принимало максимальное значение, необходимо, чтобы \(\displaystyle x\) принимал максимальное значение, а \(\displaystyle y\) - минимальное, т.е.  \(\displaystyle x=15\) и \(\displaystyle y=0\)

\(\displaystyle S=(5\cdot 15+2925)\cdot10000=30000000\) рублей

Ответ:\(\displaystyle 30000000\) рублей.