Skip to main content

Теория: Оптимизация, максимальное или минимальное значение

Задание

У фермера есть два поля, каждое площадью \(\displaystyle 15\) гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет \(\displaystyle 400\) ц/га, а на втором – \(\displaystyle 300\) ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет \(\displaystyle 250\) ц/га, а на втором – \(\displaystyle 400\) ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене \(\displaystyle 2000\) руб. за центнер, а свёклу – по цене \(\displaystyle 3000\) руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

рублей

Решение

Пусть \(\displaystyle x\) га засеяно картофелем на первом поле, тогда \(\displaystyle 15-x\) га засеяно свеклой.

Пусть \(\displaystyle y\) га засеяно картофелем на втором поле, тогда \(\displaystyle 15-y\) га засеяно свеклой.

Найдем урожай. 

Первое поле:

  • картофель – \(\displaystyle x\cdot400\) ц;
  • свекла – \(\displaystyle (15-x)\cdot250\) ц.

Второе поле:

  • картофель – \(\displaystyle y\cdot300\) ц;
  • свекла – \(\displaystyle (15-y)\cdot400\) ц.

Пусть  \(\displaystyle S\) – доход фермера. Тогда, с учетом стоимости овощей, получаем:

\(\displaystyle S=2000\cdot(x\cdot400+y\cdot300)+3000((15-x)\cdot250+(15-y)\cdot400){\small.}\)

Разделим на общий множитель \(\displaystyle 10000{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{S}{10000}&=2\cdot(40x+30y)+3(15\cdot25-25x+40\cdot15-40y)=\\&=80x-75x+60y-120+3\cdot15\cdot25+3\cdot40\cdot15=\\&=5x-60y+2925 -МАКСИМАЛЬНО\end{aligned}\)

Для того чтобы выражение принимало максимальное значение, необходимо, чтобы \(\displaystyle x\) принимал максимально возможное значение, а \(\displaystyle y\) - минимально возможное, т.е.  \(\displaystyle x=15\) и \(\displaystyle y=0{\small.}\)

Тогда 

\(\displaystyle S=(5\cdot 15+2925)\cdot10000=30000000\) рублей

Ответ:\(\displaystyle 30000000\) рублей.