В регионе \(\displaystyle А\) среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2016\) году составил \(\displaystyle 43740\) рублей и ежегодно увеличивался на \(\displaystyle 25\%{\small .}\) В регионе \(\displaystyle В\) среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2016\) составил \(\displaystyle 60000\) рублей. В течении трех лет суммарный доход жителей региона \(\displaystyle В\) увеличивался на \(\displaystyle 17\%\) ежегодно, а население увеличивается на \(\displaystyle m\%\) ежегодно. В \(\displaystyle 2019\) году среднемесячный доход на душу населения в регионах \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle В\) стал одинаковым. Найдите \(\displaystyle m{\small .}\)
Найдем среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2019\) году в регионе \(\displaystyle А\).
Так как в регионе \(\displaystyle А\) доход ежегодно увеличивается на \(\displaystyle 25\% {\small ,}\) то
| год | среднемесячный доход на душу населения |
| \(\displaystyle 2017\) | \(\displaystyle 43740+43740 \cdot \frac{25}{100} =43740 \cdot 1{,}25\) |
| \(\displaystyle 2018\) | \(\displaystyle 43740 \cdot 1{,}25 \cdot 1{,}25=43740 \cdot 1{,}25^2\) |
| \(\displaystyle 2019\) | \(\displaystyle 43740 \cdot 1{,}25^2\cdot 1{,}25=\color{green}{43740 \cdot 1{,}25^3}\) |
Поэтому среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2019\) в регионе \(\displaystyle А\) равен \(\displaystyle \bf 43740 \cdot 1{,}25^3{\small .}\)
Для того чтобы найти среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2019\) в регионе \(\displaystyle В\)
- найдем население региона \(\displaystyle В\) в \(\displaystyle 2019\) году,
- найдем общий доход в регионе \(\displaystyle В\) в \(\displaystyle 2019\) году,
- разделим общий доход горожан на число жителей и число месяцев в году (на \(\displaystyle 12\)).
Пусть \(\displaystyle N\) – число жителей региона \(\displaystyle В\) в \(\displaystyle 2016\) году. Пусть \(\displaystyle k=1+\frac{m}{100}{\small .}\) Так как каждый год население увеличивалось на \(\displaystyle m\%{ \small ,}\) то
| год | число жителей | общий годовой доход | среднемесячный доход на душу населения |
| \(\displaystyle 2016\) | \(\displaystyle N\) | ||
| \(\displaystyle 2017\) | \(\displaystyle N \cdot k\) | ||
| \(\displaystyle 2018\) | \(\displaystyle N \cdot k \cdot k =N \cdot k^2\) | ||
| \(\displaystyle 2019\) | \(\displaystyle N \cdot k^2 \cdot k =N \cdot k^3\) |
В регионе \(\displaystyle В\) среднемесячный доход на душу населения в \(\displaystyle 2016\) составлял \(\displaystyle 60000\) рублей:
| год | число жителей | общий годовой доход | среднемесячный доход на душу населения |
| \(\displaystyle 2016\) | \(\displaystyle N\) | \(\displaystyle 60000\) | |
| \(\displaystyle 2017\) | \(\displaystyle N \cdot k\) | ||
| \(\displaystyle 2018\) | \(\displaystyle N \cdot k \cdot k =N \cdot k^2\) | ||
| \(\displaystyle 2019\) | \(\displaystyle N \cdot k^2 \cdot k =N \cdot k^3\) |
Общий годовой доход региона \(\displaystyle В\) равен произведению количества жителей на среднемесячный доход на душу населения и число месяцев в году (на \(\displaystyle 12\)).
Известно, что он увеличивался на \(\displaystyle 17\%\) ежегодно. Поэтому получаем:
| год | число жителей | общий годовой доход | среднемесячный доход на душу населения |
| \(\displaystyle 2016\) | \(\displaystyle N\) | \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12\) | \(\displaystyle 60000\) |
| \(\displaystyle 2017\) | \(\displaystyle N \cdot k\) | \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12\cdot 1{,}17\) | |
| \(\displaystyle 2018\) | \(\displaystyle N \cdot k \cdot k =N \cdot k^2\) | \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^2\) | |
| \(\displaystyle 2019\) | \(\displaystyle N \cdot k^2 \cdot k =N \cdot k^3\) | \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^3\) |
Так как среднемесячный доход на душу населения равен частному ежегодного дохода на число жителей и число месяцев году (\(\displaystyle 12\)), то
| год | число жителей | общий годовой доход | среднемесячный доход на душу населения |
| \(\displaystyle 2016\) | \(\displaystyle N\) | \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12\) | \(\displaystyle 60000\) |
| \(\displaystyle 2017\) | \(\displaystyle N \cdot k\) | \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12\cdot 1{,}17\) | \(\displaystyle \frac{N \cdot 60000 \cdot 12\cdot 1{,}17}{N \cdot k \cdot 12}\) |
| \(\displaystyle 2018\) | \(\displaystyle N \cdot k \cdot k =N \cdot k^2\) | \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^2\) | \(\displaystyle \frac{N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^2}{N \cdot k^2\cdot 12}\) |
| \(\displaystyle 2019\) | \(\displaystyle N \cdot k^2 \cdot k =N \cdot k^3\) | \(\displaystyle N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^3\) | \(\displaystyle \color{blue}{\frac{N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^3}{N \cdot k^3 \cdot 12}}\) |
По условию в \(\displaystyle 2019\) году среднемесячный доход на душу населения в регионах \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle В\) стал одинаковым, то есть
\(\displaystyle \color{green}{43740 \cdot 1{,}25^3}=\color{blue}{\frac{N \cdot 60000 \cdot 12 \cdot 1{,}17^3}{N \cdot k^3 \cdot 12}}{\small .}\)
Решим данное уравнение. Упрощаем:
\(\displaystyle 43740 \cdot 1{,}25^3=\frac{ 60000 \cdot 1{,}17^3}{ k^3 }{\small .}\)
Отсюда
\(\displaystyle k^3=\frac{ 60000 \cdot 1{,}17^3}{43740 \cdot 1{,}25^3}{ \small .}\)
Разложим на простые множители:
\(\displaystyle 60000=2^5\cdot 3 \cdot 5^4\) и \(\displaystyle 43740=2^2 \cdot 3^7 \cdot 5{\small .}\)
Подставляем:
\(\displaystyle k^3=\frac{ 2^5\cdot 3 \cdot 5^4 \cdot 1{,}17^3}{2^2 \cdot 3^7 \cdot 5 \cdot 1{,}25^3}{ \small .}\)
Сокращаем:
\(\displaystyle k^3=\frac{ 2^3 \cdot 5^3 \cdot 1{,}17^3}{ 3^6 \cdot 1{,}25^3}{ \small .}\)
Извлекая из обеих частей корень кубический, получаем:
\(\displaystyle k=\frac{ 2 \cdot 5 \cdot 1{,}17}{ 3^2 \cdot 1{,}25}{ \small ,}\)
\(\displaystyle k=\frac{ 10 \cdot 1{,}17}{ 9 \cdot 1{,}25}{ \small ,}\)
\(\displaystyle k=1{,}04{\small .}\)
Так как \(\displaystyle k=1+\frac{m}{100}{ \small ,}\) то
\(\displaystyle 1+\frac{m}{100}=1{,}04{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle m=4{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle m=4{\small .}\)