Skip to main content

Теория: 03 Площадь сектора круга

Задание

Найдите площадь сектора круга:

\(\displaystyle S=\)
8(\text{arctg}(\frac{4}{5})+\frac{\pi}{6})

 

Решение

Разобьем угол, вписанный в окружность, на два угла:
 


и вычислим значения каждого угла в отдельности.

Найдем значение угла \(\displaystyle \beta{\small .}\) Для этого найдем целую точку на луче угла, если это возможно:
 


Построим прямоугольный треугольник с целыми катетами, используя данную точку:
 


Тогда по определению тангенса угла \(\displaystyle \beta\)
 


получаем, что \(\displaystyle \tg\beta=\frac{4}{5}{\small .}\) Поэтому

\(\displaystyle \beta=\arctg \frac{4}{5}{\small .}\)

Рассмотрим второй угол \(\displaystyle \gamma{\small :}\)
 


Так как целых точек на (нижнем) луче угла нет, то рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой пересечения с окружностью:
 


Гипотенуза \(\displaystyle OA\) равна \(\displaystyle 4{ \small ,}\) так как это радиус окружности. Из рисунка видно, что один из катетов равен \(\displaystyle 2{\small .}\) Тогда по определению косинуса

\(\displaystyle \cos\gamma=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}{\small .}\)

Это табличное значение косинуса острого угла, поэтому

\(\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{3}{\small .}\)

Таким образом, искомый угол \(\displaystyle \alpha\) равен

\(\displaystyle \alpha=\beta+\gamma=\arctg\frac{4}{5}+\frac{\pi}{3}{\small .}\)

 

Площадь сектора круга радиуса \(\displaystyle R\) с углом \(\displaystyle \alpha\) равна

\(\displaystyle S=\alpha \cdot \frac{R^2}{2}{\small .}\)

Радиус данной окружности равен \(\displaystyle 4{ \small ,}\) поэтому площадь искомого сектора равна

\(\displaystyle S=\left(\arctg\frac{4}{5}+\frac{\pi}{3}\right)\cdot \frac{4^2}{2}=8\left(\arctg\frac{4}{5}+\frac{\pi}{3}\right){\small .}\)


Ответ:\(\displaystyle 8\left(\arctg\frac{4}{5}+\frac{\pi}{3}\right){\small .}\)