Skip to main content

Теория: Площадь сектора круга

Задание

Найдите площадь сектора круга.

\(\displaystyle S=\)
\frac{3}{2}
\(\displaystyle \cdot \pi\)
 

Решение

Из рисунка видно, что радиус данной окружности равен \(\displaystyle 6\) единиц:
 


Рассмотрим красный треугольник:
 


Это равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, угол у основания равен \(\displaystyle 45^{\circ}\) или \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) радиан.

Построим дополнительный (зеленый) прямоугольный треугольник на второй стороне угла:
 


Из рисунка видно, что один из катетов равен \(\displaystyle 3{ \small ,}\) а гипотенуза – это радиус, то есть равна \(\displaystyle 6{\small .}\) Тогда косинус искомого угла

\(\displaystyle \cos( \color{blue}{синий\, угол})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}{\small .}\)

Значит, искомый синий угол равен \(\displaystyle \frac{\pi}{3}{\small .}\)

Далее рассмотрим оба найденных угла:
 


У них общий искомый угол \(\displaystyle \alpha{\small .}\) 

Из картинки следует, что если сложить зеленый угол, который равен \(\displaystyle \frac{\pi}{4}{ \small ,}\) и синий угол, который равен \(\displaystyle \frac{\pi}{3}{ \small ,}\) то их сумма будет равна \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+\alpha{\small .}\)

Так как угол \(\displaystyle \alpha\) – это пересечение углов, и он считается дважды, то, следовательно,

\(\displaystyle \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\alpha{ \small ,}\)

\(\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{12}{\small .}\)

Формула площади сектора круга радиуса \(\displaystyle R\) с углом \(\displaystyle \alpha\) равна

\(\displaystyle S=\alpha \cdot \frac{R^2}{2}{\small .}\)

Таким образом, площадь искомого сектора равна

\(\displaystyle S=\frac{\pi}{12}\cdot \frac{6^2}{2}=\frac{36\pi}{24}=\frac{3\pi}{2}{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{\small .}\)