Skip to main content

Теория: НОК и разложение на простые множители

Задание

Найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 2^3\cdot 11^{5} и 2^{7}\cdot 7^{10}, заполнив показатели степеней:

 

\text{НОК}(2^3\cdot 11^{5}, 2^{7}\cdot 7^{10}) = 2

 

\cdot 7

 

\cdot 11

 

 

Решение

Определение

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

 

Правило

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:

1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;

2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.

 

1. Выпишем простые множители двух чисел.

Простые множители числа 2^3\cdot 11^{5}  – это 2 и 11.

Простые множители числа 2^{7}\cdot 7^{10}  – это 2 и 7.

Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: 2, 7 и 11.

 

2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.

Рассмотрим степени 2. В первом числе это 2^3, во втором числе – 2^7. Наибольшая степень из 3 и 7 – это 7. Следовательно, первый общий множитель берем 2^{\color{blue}7}.

Рассмотрим степени 7. В первом числе 7 отсутствует (считаем, что 7 в нулевой степени), а во втором числе это 7^{10}. Наибольшая степень из 0 и 10 – это 10. Следовательно, второй общий множитель берем 7^{\color{red}{10}}.

Рассмотрим степени 11. В первом числе это 11^{5}, а во втором числе 11 нет (считаем, что 11 в нулевой степени). Наибольшая степень из 5 и 0 – это 5. Следовательно, третий общий множитель берем 11^{\color{green}{5}}.

 

3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение 2^{\color{blue}7}\cdot 7^{\color{red}{10}}\cdot 11^{\color{green}{5}}.

 

Ответ: 2^{\color{blue}7}\cdot 7^{\color{red}{10}}\cdot 11^{\color{green}{5}}.