Найти наименьшее общее кратное чисел:
\(\displaystyle 2^{3}\cdot 7^{12}\cdot 11^{5}\) и \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{7}\).
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:
1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;
2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Простые множители числа \(\displaystyle 2^{3}\cdot 7^{12}\cdot 11^{5}\) – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 11\).
Простые множители числа \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\cdot 13^{7}\) – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 13\).
Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 11\) и \(\displaystyle 13\).
2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.
Рассмотрим степени \(\displaystyle 2\). В первом числе это \(\displaystyle 2^3\), во втором числе – \(\displaystyle 2^7\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 7\) – это \(\displaystyle \color{blue}7\). Следовательно, первый множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\).
Рассмотрим степени \(\displaystyle 7\). В первом числе это \(\displaystyle 7^{12}\), во втором числе – \(\displaystyle 7^{10}\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 10\) – это \(\displaystyle \color{red}{12}\). Следовательно, второй множитель берем \(\displaystyle 7^{\color{red}{12}}\).
Рассмотрим степени \(\displaystyle 11\). В первом числе это \(\displaystyle 11^{5}\), а во втором числе \(\displaystyle 11\) нет (считаем, что \(\displaystyle 11\) в нулевой степени). Наибольшая степень из \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 0\) – это \(\displaystyle \color{green}{5}\). Следовательно, третий множитель берем \(\displaystyle 11^{\color{green}{5}}\).
Рассмотрим степени \(\displaystyle 13\). В первом числе \(\displaystyle 13\) отсутствует (считаем, что \(\displaystyle 13\) в нулевой степени), а во втором числе это \(\displaystyle 13^{7}\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 0\) и \(\displaystyle 7\) – это \(\displaystyle \color{purple}{7}\). Следовательно, четвертый множитель берем \(\displaystyle 13^{\color{purple}{7}}\).
3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение
\(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\cdot 7^{\color{red}{12}}\cdot 11^{\color{green}{5}}\cdot 13^{\color{purple}{7}}\).
Ответ: \(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\cdot 7^{\color{red}{12}}\cdot 11^{\color{green}{5}}\cdot 13^{\color{purple}{7}}\).