Skip to main content

Теория: НОК и разложение на простые множители

Задание

Найти наименьшее общее кратное:

\(\displaystyle \text{НОК}(64,54)=\) 

Решение

Правило

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, надо:

1) разложить числа на простые множители;

2) выбрать все простые множители в наибольших степенях;

3) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.

 

1. Разложим числа \(\displaystyle 54\) и \(\displaystyle 64\) на простые множители:

\(\displaystyle 54=2\cdot 3^{3}\);

\(\displaystyle 64=2^{6}\).

Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 54=2\cdot 3^{3}\)  – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\).

Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 64=2^{6}\)  – это \(\displaystyle 2\).

Перечислим все простые множители в порядке возрастания: \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\).

 

2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.

Рассмотрим степени \(\displaystyle 2\). В первом числе это \(\displaystyle 2=2^{1}\), во втором числе – \(\displaystyle 2^{6}\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 6\) – это \(\displaystyle \color{blue}6\). Следовательно, первый множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}6}\).

Рассмотрим степени \(\displaystyle 3\). В первом числе это \(\displaystyle 3^{3}\), а во втором числе \(\displaystyle 3\) нет (считаем, что \(\displaystyle 3\) в нулевой степени). Наибольшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 0\) – это \(\displaystyle \color{red}{3}\). Следовательно, второй множитель берем \(\displaystyle 3^{\color{red}{3}}\).

 

3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение

\(\displaystyle 2^{\color{blue}6}\cdot 3^{\color{red}{3}}=64\cdot 27=1728\).

 

Ответ: \(\displaystyle 1728\).