Skip to main content

Теория: 07 Применение производной к исследованию функций-1

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle y = f(x){\small .}\)

На оси абсцисс отмечены семь точек:\(\displaystyle x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4,\, x_5,\, x_6,\, x_7{\small .}\) В скольких из этих точек производная функции \(\displaystyle f(x)\)положительна?
 


Решение

\(\displaystyle f^{\prime}(x_1)\,\cancel{=}\,0,\, \ldots,\, f^{\prime}(x_7)\,\cancel{=}\,0\)

Далее используем связь производной с убыванием и возрастанием функции.

Правило

Убывание, возрастание функции и знак производной

Если функция \(\displaystyle f(x)\) на промежутке \(\displaystyle (\alpha;\, \beta)\) возрастает, то для любого \(\displaystyle x_0 \in (\alpha;\, \beta)\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\geqslant 0{ \small ,}\) если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует.

Если функция \(\displaystyle f(x)\) на промежутке \(\displaystyle (\alpha;\, \beta)\) убывает, то для любого \(\displaystyle x_0 \in (\alpha;\, \beta)\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x_0) \leqslant 0{ \small ,}\) если \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует.

\(\displaystyle f^{\prime}(x_1)>0,\,f^{\prime}(x_3)>0,\,f^{\prime}(x_4)>0,\,f^{\prime}(x_7)>0\)

Из данных точек только в окрестности точек \(\displaystyle x_1,\,x_3,\,x_4,\,x_7\) функция возрастает
 

поэтому значение производной в этих точках положительно:

\(\displaystyle f^{\prime}(x_1)>0,\,f^{\prime}(x_3)>0,\,f^{\prime}(x_4)>0,\,f^{\prime}(x_7)>0.\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x_2)<0,\,f^{\prime}(x_5)<0,\,f^{\prime}(x_6)<0\)

Получаем, что в четырех точках из семи производная положительна.

Ответ: \(\displaystyle 4.\)