Skip to main content

Теория: 04 Противоположное событие, произведение и сумма вероятностей

Задание

В кинотеатре два идентичных автомата с попкорном, связанные между собой . Вероятность того, что к вечеру попкорн закончится в автомате, равна \(\displaystyle 0{,}4{\small . }\) Вероятность того, что попкорн закончится в обоих автоматах сразу, равна \(\displaystyle 0{,}36{\small . }\)

Найдите вероятность того, что к вечеру попкорн останется в обоих автоматах.

0,56
Решение

Пусть события

\(\displaystyle A\) – в первом автомате закончится попкорн,

\(\displaystyle B\) – во втором автомате закончится попкорн.

Тогда

\(\displaystyle A \cdot B \) – в первом и во втором автомате закончился попкорн.

По условию известно, что \(\displaystyle P(A)=P(B)=0{,}4\) и \(\displaystyle P(A\cdot B)=0{,}36{\small . }\)

Противоположные события

\(\displaystyle \overline{А}\) - неверно, что  в первом автомате закончится попкорн, то есть в первом автомате есть попкорн,

\(\displaystyle \overline{B}\) - неверно, что во втором автомате закончится попкорн, то есть во втором автомате есть попкорн,

\(\displaystyle \overline{ A\cdot B}\) - неверно, что в первом и во втором автомате закончился попкорн, то есть 

в первом или во втором автомате есть попкорн.

Нам требуется найти вероятность события, что попкорн останется в обоих автоматах, то есть вероятность события

\(\displaystyle \color{red}{P(\overline{A}\cdot \overline{B})}=\,?\)

Рассмотрим противоположное событие к событию \(\displaystyle \color{red}{\overline{A}\cdot \overline{B}}{\small : }\)

\(\displaystyle \overline{\color{red}{\overline{A}\cdot \overline{B}}}\) – неверно, что в обоих автоматах остался попкорн, то есть

попкорна нет хотя бы в одном автомате:

\(\displaystyle \overline{\color{red}{\overline{A}\cdot \overline{B}}}=A+B{\small .}\)

Используем формулу

Правило

Вероятность суммы совместных событий

\(\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B){\small .}\)

\(\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B)=0{,}4+0{,}4-0{,}36=0{,}44{\small .}\)

Так как

\(\displaystyle P(A+B)=P(\overline{\color{red}{\overline{A}\cdot \overline{B}}})=1-\color{red}{P(\overline{A}\cdot \overline{B})}{\small , }\)

то получаем, что

\(\displaystyle \color{red}{P(\overline{A}\cdot \overline{B})}=1-0{,}44=0{,}56{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle 0{,}56{\small . }\)