Skip to main content

Теория: НОК и Алгоритм Евклида

Задание

Найдите наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 30\), используя алгоритм Евклида и формулу

\(\displaystyle \text{НОК}(a,b)= \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\).

 

\(\displaystyle \text{НОК}(5, 30) = \frac{5\cdot 30}{\text{НОД}(5, 30)}=\)

Решение

Алгоритм

Алгоритм Евклида для НОД(ab)

1. Пусть \(\displaystyle b>a\). Делим большее \(\displaystyle b\) на меньшее \(\displaystyle a\) с остатком:

\(\displaystyle b=a\cdot n+ {\bf r}\).

2. \(\displaystyle \text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(a,{\bf r})\).

3. Если \(\displaystyle {\bf r}=0\), то \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})=a\). Если \(\displaystyle {\bf r}\not=0\), то ищем \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})\) (но теперь \(\displaystyle a>{\bf r}\)).

 

Правило

Если \(\displaystyle \text{НОД}(a, b)\) найден, то

\(\displaystyle \text{НОК}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\).

 

Найдем \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30)\):

1. Так как \(\displaystyle 30> 5\), то делим \(\displaystyle 30\) на \(\displaystyle 5\) с остатком: \(\displaystyle 30=5\cdot 6+{\bf 0}\).

2. \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30)=\text{НОД}(5,{\bf 0})\).

3. \(\displaystyle \text{НОД}(5,{\bf 0})=5\).

Таким образом, \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30)=5\).

 

Найдем \(\displaystyle \text{НОК}(5, 30)\):

\(\displaystyle \text{НОК}(5, 30)= \frac{5\cdot 30}{\text{НОД}(5, 30)}=\frac{150}{5}=30\).

 

Ответ: \(\displaystyle \text{НОК}(5, 30)=30\).