Skip to main content

Теория: НОК и Алгоритм Евклида

Задание

Найдите наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 18\) и \(\displaystyle 45\), используя алгоритм Евклида и формулу

\(\displaystyle \text{НОК}(a,b)= \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\).

 

\(\displaystyle \text{НОК}(18, 45) = \frac{18\cdot 45}{\text{НОД}(18, 45)}=\)

Решение

Алгоритм

Алгоритм Евклида для НОД(ab)

1. Пусть \(\displaystyle b>a\). Делим большее \(\displaystyle b\) на меньшее \(\displaystyle a\) с остатком:

\(\displaystyle b=a\cdot n+ {\bf r}\).

2. \(\displaystyle \text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(a,{\bf r})\).

3. Если \(\displaystyle {\bf r}=0\), то \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})=a\). Если \(\displaystyle {\bf r}=\not 0\), то ищем \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})\) (но теперь \(\displaystyle a>{\bf r}\)).

 

Правило

Если \(\displaystyle \text{НОД}(a, b)\) найден, то

\(\displaystyle \text{НОК}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\).

 

Найдем \(\displaystyle \text{НОД}(18, 45)\):

Шаг 1. Применим алгоритм Евклида к \(\displaystyle \text{НОД}(18, 45)\).

1. Так как \(\displaystyle 45> 18\), то делим \(\displaystyle 45\) на \(\displaystyle 18\) с остатком: \(\displaystyle 45=18\cdot 2+{\bf 9}\).

2. \(\displaystyle \text{НОД}(18, 45)=\text{НОД}(18,{\bf 9})\).

3. Так как \(\displaystyle {\bf 9} =\not 0\), то переходим к шагу 2.

 

Шаг 2. Применим алгоритм Евклида к \(\displaystyle \text{НОД}(18, 9)=\text{НОД}(9, 18)\).

1. Так как \(\displaystyle 18> 9\), то делим \(\displaystyle 18\) на \(\displaystyle 9\) с остатком: \(\displaystyle 18=9\cdot 2+{\bf 0}\).

2. \(\displaystyle \text{НОД}(9, 18)=\text{НОД}(9,{\bf 0})\).

3. \(\displaystyle \text{НОД}(9,{\bf 0})=9\).

Таким образом, \(\displaystyle \text{НОД}(18, 45)=9\).

 

Найдем \(\displaystyle \text{НОК}(18, 45)\):

\(\displaystyle \text{НОК}(18, 45)= \frac{18\cdot 45}{\text{НОД}(18, 45)}=\frac{810}{9}=90\).

 

Ответ: \(\displaystyle \text{НОК}(18, 45)=90\).