Skip to main content

Теория: Иррациональные уравнения

Задание

Решите уравнение (если решений нет, то ячейку оставьте пустой):

\(\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{2x}=2{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
18
Решение

Чтобы привести уравнение \(\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{2x}=2\) к элементарному виду, разделим обе части на \(\displaystyle \frac{1}{3}{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{2x}:\frac{1}{3}=2:\frac{1}{3}{ \small ,}\)

\(\displaystyle \sqrt{2x}=6{\small .}\)

Правило

Уравнение вида  \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)

  • Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
  • если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.

В нашем случае \(\displaystyle f(x)=2x\) и \(\displaystyle a=6{\small .}\) Так как \(\displaystyle 6 \ge 0{ \small ,}\) то

уравнение \(\displaystyle \sqrt{2x}=6\) равносильно уравнению \(\displaystyle 2x=6^2{\small .}\)

Отсюда получаем:

\(\displaystyle x=\frac{6^2}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{36}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=18{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle 18{\small .}\)