Skip to main content

Теория: Иррациональные уравнения

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle \sqrt{-40-13x}=-x{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них

Решение

Правило

Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{-40-13x}=-x{\small .}\)

Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{-40-13x}=-x\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-40-13x&=(-x)^2{ \small ,}\\-x&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим первое уравнение в системе, и проверим, какие из полученных решений удовлетворяют второму неравенству системы.

Квадратное уравнение \(\displaystyle -40-13x=(-x)^2\) имеет решения \(\displaystyle x_1=-5\) и \(\displaystyle x_2=-8{\small .}\)

\(\displaystyle -40-13x=(-x)^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2+13x+40=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle D=13^2-4\cdot40=169-160=9{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-13+3}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-13-3}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=-5{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=-8{\small .}\)

Корень \(\displaystyle x=-5\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle -x\ge 0{ \small ,}\) так как 

\(\displaystyle -(-5)\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5\ge 0{\small .}\)

Корень \(\displaystyle x=-8\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle -x\ge 0{ \small ,}\) так как 

\(\displaystyle -(-8)\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 8\ge 0{\small .}\)

Таким образом, \(\displaystyle x_1=-5\) и \(\displaystyle x_2=-8\) – решения иррационального уравнения. Наименьшее из них – это \(\displaystyle x_2=-8{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle -8{\small .}\)