Skip to main content

Теория: Иррациональные уравнения

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle (x-2)\sqrt{7x-15}=0\)

\(\displaystyle x_1=\)
\frac{15}{7}
\(\displaystyle x_2=\)

(если корень только один, то вторую ячейку оставьте пустой)

Решение

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то мы имеем ограничение на множество корней уравнения:

\(\displaystyle 7x-15\ge 0{ \small ,}\)

то есть

\(\displaystyle x \ge \frac{15}{7}{\small .}\)

Далее решим уравнение

\(\displaystyle (x-2)\sqrt{7x-15}=0{\small .}\)

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, то есть

\(\displaystyle (x-2)\sqrt{7x-15}=0\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle x-2=0\) или  \(\displaystyle \sqrt{7x-15}=0{\small .}\)

Случай \(\displaystyle x-2=0{\small .}\)

\(\displaystyle x=2\) решение линейного уравнения \(\displaystyle x-2=0{\small .}\)

Корень \(\displaystyle x=2\) не удовлетворяет неравенству \(\displaystyle x\ge \frac{15}{7}{\small .}\) Следовательно, \(\displaystyle x=2\) не является решением уравнения.

Случай \(\displaystyle \sqrt{7x-15}=0{\small .}\)

Уравнение \(\displaystyle \sqrt{7x-15}=0{ \small ,}\) если \(\displaystyle 7x-15=0{\small .}\) Следовательно,

\(\displaystyle 7x-15=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{15}{7}{\small .}\)

Корень \(\displaystyle x=\frac{15}{7}\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle x\ge \frac{15}{7}{\small .}\) Следовательно, \(\displaystyle x=\frac{15}{7}\) является решением уравнения.

Ответ: \(\displaystyle x=\frac{15}{7}{\small .}\)