Skip to main content

Теория: 05 Логарифмы

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle 36^{\log_{6}5}=\)
25
Решение

Так как в основании  логарифма стоит \(\displaystyle 6{ \small ,}\) то представим \(\displaystyle 36=6^2\) и подставим в выражение:

\(\displaystyle 36^{\log_{6}5}=\left(6^2\right)^{\log_{6}5}{\small .}\)

Используя формулу "степень в степени" \(\displaystyle \left(a^n\right)^m=a^{n \cdot m}{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \left(6^2\right)^{\log_{6}5}=6^{2\cdot \log_{6}(5)}{\small .}\)

Далее по свойству логарифма \(\displaystyle n\cdot \log_a(b)=\log_{a}(b^n)\) получаем:

\(\displaystyle 6^{2\cdot \log_{6}(5)}=6^{\log_{6}(5^2)}{\small .}\)

По основному свойству логарифма \(\displaystyle a^{\log_a b}=b{ \small .}\) Тогда

\(\displaystyle 6^{\log_{6}(5^2)}=5^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle 5^2=25{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 36^{\log_{6}(5)}=(6^2)^{\log_{6}(5)}=6^{2\log_{6}(5)}=6^{\log_{6}(5^2)}=5^2=25{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 25{\small .}\)