В треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle 85^\circ{\small , }\) угол \(\displaystyle B\) равен \(\displaystyle 45^\circ{\small , }\) \(\displaystyle AD\) – биссектриса угла, \(\displaystyle E\) – такая точка на \(\displaystyle AB{\small , }\) что \(\displaystyle AE=AC{\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle BDE{\small .}\)
\(\displaystyle \angle BDE=\)\(\displaystyle ^\circ\)
Рассмотрим \(\displaystyle \triangle ABC{\small :} \)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\angle C& =180^\circ- \angle A- \angle B=\\&=180^\circ- 85^\circ- 45^\circ= 50^\circ{\small .}\end{aligned}\)
Треугольники \(\displaystyle ACD \) и \(\displaystyle ADE \) равны по двум сторонам и углу между ними:
\(\displaystyle \begin{aligned}&\angle CAD= \angle DAE= \frac{ 85}{ 2}^\circ{\small , }\\&\text{сторона }AD – \text{ общая}{\small , }\\&AE= AC{\small .}\end{aligned}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\angle ADC&= 180^\circ- \angle DAC- \angle C=\\&=180- \frac{ 85}{2}- 50^\circ= 87{,}5^\circ{\small .}\end{aligned}\)
Значит, \(\displaystyle \angle ADE= 87{,}5^\circ\) (из равенства \(\displaystyle \triangle ACD \) и \(\displaystyle \triangle ADE{\small , } \) напротив равных сторон лежат равные углы).
Тогда
\(\displaystyle \angle CDA+ \angle ADE+ \angle EDB= 180^\circ{\small , } \)
\(\displaystyle 87{,}5^\circ+ 87{,}5^\circ+ \angle EDB= 180^\circ{\small , } \)
\(\displaystyle \angle EDB= 180- 175^\circ{\small , } \)
\(\displaystyle \angle EDB= 5^\circ{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle 5^\circ{\small . } \)