В треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle 60^\circ{\small , }\) угол \(\displaystyle B\) равен \(\displaystyle 82^\circ{\small , }\) \(\displaystyle AD,\, BE\) и \(\displaystyle CF\) – высоты, пересекающиеся в точке \(\displaystyle O{\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle AOB{\small .}\)
\(\displaystyle \angle AOB=\)\(\displaystyle ^\circ\)
Сначала найдем \(\displaystyle \angle AOF{\small .} \)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ADB{\small : } \)
Так как \(\displaystyle \angle ADB= 90^\circ{\small , } \) то
\(\displaystyle \angle DAB=90^\circ- \angle B{\small , } \)
\(\displaystyle \angle DAB=90^\circ- 82^\circ{\small , } \)
\(\displaystyle \angle DAB=8^\circ{\small . } \)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOF{\small :} \)
Тогда \(\displaystyle \angle OAF= 8^\circ{\small .} \) Значит, \(\displaystyle \angle AOF= 90^\circ- 8^\circ= 82^\circ{\small .} \)
Теперь найдем угол \(\displaystyle BOF{\small :} \)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AEB{\small : } \)
Поскольку \(\displaystyle \angle A= 60^\circ{\small , } \) то
\(\displaystyle \angle EBA= 90^\circ- 60^\circ= 30^\circ{\small .} \)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle FOB{\small : } \)
В нем
\(\displaystyle \angle BOF= 90^\circ- 30^\circ= 60^\circ{\small .} \)
Окончательно рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOB{\small : } \)
Тогда
\(\displaystyle \angle AOB= \angle AOF+ \angle FOB= 82^\circ+ 60^\circ= 142^\circ{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 142^\circ{\small .} \)