Skip to main content

Теория: 04 Углы в треугольнике-2

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle 34^\circ{\small , }\) угол \(\displaystyle B\) равен \(\displaystyle 72^\circ{\small , }\) \(\displaystyle CD\) – биссектриса внешнего угла при вершине \(\displaystyle C,\) причем точка \(\displaystyle D\) лежит на прямой \(\displaystyle AB{\small .}\) На продолжении стороны \(\displaystyle AC\) за точку \(\displaystyle C\) выбрана точка \(\displaystyle E\) так, что \(\displaystyle CE=CB{\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle BDE{\small .}\)

\(\displaystyle \angle BDE=\)\(\displaystyle ^\circ\)

Решение

Внешний угол при вершине \(\displaystyle C \) треугольника \(\displaystyle ABC \) равен сумме двух несмежных с ним углов треугольника:

\(\displaystyle \angle BCE= \angle A+ \angle B= 34^\circ+ 72^\circ= 106^\circ{ \small .} \)

Так как \(\displaystyle CD \) – биссектриса, то \(\displaystyle \angle DCB= \angle DCE= \frac{ 106}{ 2}^\circ= 53^\circ{\small .} \)

Внешний угол при вершине \(\displaystyle B \) равен

\(\displaystyle \angle DBC= 180^\circ- 72^\circ= 108^\circ{\small .} \)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle CED \) и \(\displaystyle CBD{\small : } \)

\(\displaystyle \begin{aligned} &\angle BCD= \angle DCE{\small , }\\ &BC= CE{\small , }\\ &\text{сторона } CD – \text{ общая}{\small .} \end{aligned}\)

Значит, \(\displaystyle \triangle CED= \triangle CBD{\small , } \) откуда \(\displaystyle \angle CDB= \angle DCE{\small .} \)

Рассмотрим \(\displaystyle \triangle BCD{\small : } \)

\(\displaystyle \angle CDB+ \angle DBC+ \angle BCD= 180^\circ{\small , } \)

\(\displaystyle \angle CDB+ 108^\circ+ 53^\circ= 180^\circ{\small , } \)

\(\displaystyle \angle CDB= 19^\circ{\small . } \)

Таким образом,

\(\displaystyle \angle BDE= 2\angle CDB= 2\cdot 19^\circ= 38^\circ{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 38^\circ{\small .}\)