Skip to main content

Теория: Лекции по теме "квадратный корень"

Задание

Для любых натуральных чисел \(\displaystyle a, \,b\) верно:

\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}+b} \approx a+\frac{b}{2a}{\small ,}\)

\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}-b} \approx a-\frac{b}{2a}\)

(здесь \(\displaystyle a^{\,2}-b \ge 0\)).

Решение

Так как

\(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2=a^{\,2}+2\cdot a\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\color{red}{a^{\,2}+b}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small ,}\)

то это говорит, что выражения \(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2\) и \(\displaystyle a^{\,2}+b\) отличаются на \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small .}\)

И если числовое значение \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2\) мало, то их можно считать приближенно равными, то есть

\(\displaystyle \left(a+\frac{b}{2a}\right)^2\approx a^{\,2}+b{\small .}\)

Извлекая корень из обеих частей, получаем:

\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}+b} \approx a+\frac{b}{2a}{\small .}\)

 

Аналогично,  получаем:

\(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2=a^{\,2}-2\cdot a\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\color{red}{a^{\,2}-b}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small .}\)

Это говорит, что выражения \(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2\) и \(\displaystyle a^{\,2}-b\) отличаются на \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2{\small .}\)

И если числовое значение \(\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2\) мало, то их можно считать приближенно равными, то есть

\(\displaystyle \left(a-\frac{b}{2a}\right)^2\approx a^{\,2}-b{\small .}\)

Извлекая корень из обеих частей, получаем:

\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}-b} \approx a-\frac{b}{2a}{\small .}\)