Skip to main content

Теория: Элементарные логарифмические уравнения (в стадии наполнения)

Задание

Решите уравнение (если корня два или более, то в ответ запишите наибольшее из них):

\(\displaystyle \log^2_{2}x^3-\log_{2}x^8-1=0{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
2
Решение

Область допустимых значений (ОДЗ):

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^3 &> 0{\small ,}\\x^8 &> 0{\small ;}\end{aligned}\right.\)    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &> 0{\small ,}\\x\,&\cancel{=}\, 0{\small ;}\end{aligned}\right.\)    \(\displaystyle x > 0{\small .}\)

Преобразуем наше уравнение

\(\displaystyle \log^2_{2}x^3-\log_{2}x^8-1=0{\small ,}\)

используя свойство

\(\displaystyle \log_{a}b^n=n\log_{a}b{\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle (3\log_{2}x)^2-8\log_{2}x-1=3^2(\log_{2}x)^2-8\log_{2}x-1{\small .}\)

Тогда уравнение

\(\displaystyle \log^2_{2}x^3-\log_{2}x^8-1=0\)

примет вид

\(\displaystyle 3^2(\log_{2}x)^2-8\log_{2}x-1=0{\small .}\)

Сделаем замену. Пусть \(\displaystyle t=\log_{2}x{\small .}\) Тогда

\(\displaystyle 3^2t^2-8t-1=0{\small ,}\)

\(\displaystyle 9t^2-8t-1=0{\small .}\)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle {\rm D}= (-8)^2-4\cdot9\cdot(-1)=64+36=100{\small ,}\)

\(\displaystyle t_1=\frac{-(-8)+\sqrt{100}}{2\cdot 9}=\frac{8+10}{18}=1{\small ,}\)

\(\displaystyle t_2=\frac{-(-8)-\sqrt{100}}{2\cdot 9}=\frac{8-10}{18}=-\frac{1}{9}{\small .}\)

Рассмотрим оба значения для \(\displaystyle t{\small :}\)

Случай 1.

\(\displaystyle t=1,\) то есть

\(\displaystyle \log_{2}x=1{\small ,}\)

\(\displaystyle x=2^1{\small ,}\)

\(\displaystyle x=2{\small .}\)

Так как \(\displaystyle 2>0{\small ,}\) то \(\displaystyle x=2\) удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2.

\(\displaystyle t=-\frac{1}{9}{\small ,}\) то есть

\(\displaystyle \log_{2}x=-\frac{1}{9}{\small ,}\)

\(\displaystyle x=2^{-\frac{1}{9}}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle 2^{-\frac{1}{9}}>0{\small ,}\) то \(\displaystyle x=2^{-\frac{1}{9}}\) удовлетворяет ОДЗ.

Поскольку \(\displaystyle 2^{-\frac{1}{9}}<2{\small ,}\) то \(\displaystyle x=2\) – наибольший ответ.

Ответ: \(\displaystyle x=2{\small .} \)