Skip to main content

Теория: Простейшие тригонометрические уравнения и отбор корней

Задание

Решите уравнение \(\displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) и выберите корень на отрезке \(\displaystyle \left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
-\frac{3\pi}{4}

Если решений несколько, то в ответ введите минимальное.

Решение

Для любого числа \(\displaystyle -1\le a \le 1\) тригонометрическое уравнение \(\displaystyle \cos x =a\) имеет следующие решения:

\(\displaystyle x_1=-\arccos(a)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\arccos(a)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения

\(\displaystyle x_1=-\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi-\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) и \(\displaystyle \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}{ \small ,}\) то

\(\displaystyle \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}\) или \(\displaystyle \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}{\small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle x_1=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small . }\)

Далее выберем корни из интервала \(\displaystyle \left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_1=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\) получаем решение \(\displaystyle -\frac{3\pi}{4}{\small .}\)

Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle -\pi \le x_1\le -\frac{\pi}{2}{ \small .}\)

То есть

\(\displaystyle -\pi \le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{\pi}{2}{\small .}\)

Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle -1 \le -\frac{3}{4}+2n\le -\frac{1}{2}{\small .}\)

Прибавим ко всем частям неравенства \(\displaystyle \frac{3}{4}{\small :}\)

\(\displaystyle -1+\frac{3}{4} \le -\frac{3}{4}+2n+ \frac{3}{4} \le -\frac{1}{2}+\frac{3}{4}{ \small ,}\)

\(\displaystyle -\frac{1}{4} \le 2n\le \frac{1}{4}{\small .}\)

Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенство на \(\displaystyle 2{\small : }\)

\(\displaystyle -\frac{1}{8} \le n\le \frac{1}{8}{\small .}\)

Таким образом, нам надо найти все целые числа в промежутке от \(\displaystyle -\frac{1}{8}\) до \(\displaystyle \frac{1}{8}{\small .}\)

Единственное целое число в данном промежутке – это ноль, то есть \(\displaystyle n=0{\small .}\)

Подставляем в решение \(\displaystyle x_1=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n{ \small ,}\) получаем

\(\displaystyle n=0, \qquad -\frac{3\pi}{4}+2\pi \cdot 0=-\frac{3\pi}{4}{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_2= \frac{3\pi}{4}+2\pi n\) решений нет.

Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle -\pi \le x_2\le -\frac{\pi}{2}{ \small .}\)

То есть

\(\displaystyle -\pi \le \frac{3\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{\pi}{2}{\small .}\)

Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle -1 \le \frac{3}{4}+2n\le -\frac{1}{2}{\small .}\)

Вычтем из всех частей неравенства \(\displaystyle \frac{3}{4}{\small :}\)

\(\displaystyle -1-\frac{3}{4} \le \frac{3}{4}+2n-\frac{3}{4}\le -\frac{1}{2}-\frac{3}{4}{ \small ,}\)

\(\displaystyle -\frac{7}{4} \le 2n\le -\frac{5}{4}{\small .}\)

Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенство на \(\displaystyle 2{\small : }\)

\(\displaystyle -\frac{7}{8} \le n\le -\frac{5}{8}{\small .}\)

Таким образом, нам надо найти все целые числа в промежутке от \(\displaystyle -\frac{7}{8}\) до \(\displaystyle -\frac{5}{8}{\small .}\) Таких целых чисел нет.

Следовательно, решений нет.

Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]\) имеет решение \(\displaystyle x=-\frac{3\pi}{4}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle -\frac{3\pi}{4}{\small .}\)