Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за \(\displaystyle 12\) дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй за три дня?
Примем всю работу за \(\displaystyle 1{\small .}\)
Обозначим производительность за один день первого рабочего за \(\displaystyle x\) (часть работ, выполняемая за один день), а производительность за один день второго рабочего за \(\displaystyle y{\small .}\)
Известно, что первый рабочий за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй за три дня, то есть
\(\displaystyle 2x=3y{\small .}\)
Согласно условию, вместе рабочие выполнят всю работу за \(\displaystyle 12\) дней, то есть
\(\displaystyle \frac{1}{x+y}=12{\small .}\)
Решим полученную систему уравнений:
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}2x&=3y{ \small ,}\\\frac{1}{x+y}&=12{\small .}\\\end{aligned}\right.\)
Умножая на \(\displaystyle x+y\) второе уравнение ( \(\displaystyle x+y\,\cancel{=}\,0\)), получаем:
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}2x&=3y{ \small ,}\\1&=12(x+y){\small .}\\\end{aligned}\right.\)
Решая полученную систему, находим, что \(\displaystyle x=\frac{1}{20}\) и \(\displaystyle y=\frac{1}{30}{\small .}\)
В задаче нас просят найти, за сколько дней выполнит всю работу первый рабочий, то есть \(\displaystyle \frac{1}{x}{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{20}}=1:\frac{1}{20}=20\) дней.
Ответ: \(\displaystyle 20\)