Найдите площадь сектора круга:
Разобьем угол, вписанный в окружность, на два угла:
 |  |
и вычислим значения каждого угла в отдельности.
Найдем значение угла \(\displaystyle \beta{\small .}\) Для этого найдем целую точку на луче угла, если это возможно:
Построим прямоугольный треугольник с целыми катетами, используя данную точку:
Тогда по определению тангенса угла \(\displaystyle \beta\)
получаем, что \(\displaystyle \tg\beta=\frac{4}{5}{\small .}\) Поэтому
\(\displaystyle \beta=\arctg \frac{4}{5}{\small .}\)
Рассмотрим второй угол \(\displaystyle \gamma{\small :}\)
Так как целых точек на (нижнем) луче угла нет, то рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой пересечения с окружностью:
Гипотенуза \(\displaystyle OA\) равна \(\displaystyle 4{ \small ,}\) так как это радиус окружности. Из рисунка видно, что один из катетов равен \(\displaystyle 2{\small .}\) Тогда по определению косинуса
\(\displaystyle \cos\gamma=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}{\small .}\)
Это табличное значение косинуса острого угла, поэтому
\(\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{3}{\small .}\)
Таким образом, искомый угол \(\displaystyle \alpha\) равен
\(\displaystyle \alpha=\beta+\gamma=\arctg\frac{4}{5}+\frac{\pi}{3}{\small .}\)
Площадь сектора круга радиуса \(\displaystyle R\) с углом \(\displaystyle \alpha\) равна
\(\displaystyle S=\alpha \cdot \frac{R^2}{2}{\small .}\)
Радиус данной окружности равен \(\displaystyle 4{ \small ,}\) поэтому площадь искомого сектора равна
\(\displaystyle S=\left(\arctg\frac{4}{5}+\frac{\pi}{3}\right)\cdot \frac{4^2}{2}=8\left(\arctg\frac{4}{5}+\frac{\pi}{3}\right){\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 8\left(\arctg\frac{4}{5}+\frac{\pi}{3}\right){\small .}\)