Skip to main content

Теория: 03 Площадь сектора круга

Задание

Найдите площадь сектора круга:

\(\displaystyle S=\)
32(\text{arctg}\frac{5}{4}+\frac{\pi}{3})

 

Решение

Разобьем угол, вписанный в окружность, на два угла:
 


и вычислим значение каждого угла в отдельности.

Найдем значение угла \(\displaystyle \beta{\small .}\) Для этого найдем целую точку на луче угла, если это возможно:
 


Построим прямоугольный треугольник с целыми катетами, используя данную точку:
 


Тогда по определению тангенса угла \(\displaystyle \beta\)
 


получаем, что \(\displaystyle \tg\beta=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}{\small .}\) Поэтому

\(\displaystyle \beta=\arctg\frac{5}{4}{\small .}\)

Рассмотрим второй угол \(\displaystyle \gamma{\small :}\)
 


Так как целых точек на (нижнем) луче угла нет, то рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой пересечения с окружностью и стороной с целым числом клеток:
 


Гипотенуза \(\displaystyle OD\) равна \(\displaystyle 8{ \small ,}\) так как это радиус окружности. Из рисунка видно, что один из катетов \(\displaystyle DB\) равен \(\displaystyle 4{\small :}\)
 


Тогда по определению синуса

\(\displaystyle \sin\gamma=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}{\small .}\)

Это табличное значение синуса острого угла, поэтому

\(\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{6}{\small .}\)

Таким образом, искомый угол \(\displaystyle \alpha\) равен

\(\displaystyle \alpha=\beta+\gamma=\arctg\frac{5}{4}+\frac{\pi}{6}{\small .}\)

 

Площадь сектора круга радиуса \(\displaystyle R\) с углом \(\displaystyle \alpha\) равна

\(\displaystyle S=\alpha \cdot \frac{R^2}{2}{\small .}\)

Радиус данной окружности равен \(\displaystyle 8{ \small ,}\) поэтому площадь искомого сектора равна

\(\displaystyle S=\left(\arctg\frac{5}{4}+\frac{\pi}{6}\right)\cdot \frac{8^2}{2}=32\left(\arctg\frac{5}{4}+\frac{\pi}{6}\right){\small .}\)


Ответ:\(\displaystyle 32\left(\arctg\frac{5}{4}+\frac{\pi}{6}\right){\small .}\)