Skip to main content

Теория: 01 Прямоугольный треугольник

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle C\) равен \(\displaystyle 90^{\circ}{\small , }\) площадь треугольника равна  \(\displaystyle 24{\small .}\) Один из катетов больше другого на \(\displaystyle 2{\small .}\)

Найдите длину меньшего катета.

Длина меньшего катета =
6
Решение

Пусть катет \(\displaystyle AC=x{\small , }\) тогда катет \(\displaystyle BC=x+2{\small .}\)

Площадь треугольника равна \(\displaystyle S= \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC{\small , } \) при этом известно, что \(\displaystyle S=24{\small .} \) Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{1}{2}x(x+2)=24{\small , } \)

\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2+\frac{ 1}{ 2}x\cdot 2=24{\small , } \)

\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x=24{\small , }\) \(\displaystyle \Big|\)умножим на 2

\(\displaystyle x^2+2x=48{\small , } \)

\(\displaystyle x^2+2x-48=0{\small . } \)

Дискриминант равен \(\displaystyle {\text D}= 2^2-4\cdot (-48)=4+192=196=14^2{\small , }\)

Тогда корни равны

\(\displaystyle x_1=\frac{ -2+14}{ 2}=6{\small , } \)

\(\displaystyle x_2=\frac{ -2-14}{ 2}=-8\) – длина не может быть отрицательной.

Значит, катет \(\displaystyle AC=6{\small , } \) а \(\displaystyle BC=8\) – меньший равен \(\displaystyle 6{\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle 6{\small . } \)