Skip to main content

Теория: 01 Прямоугольный треугольник

Задание

Одна сторона прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, равна \(\displaystyle \sqrt{2}{\small . }\) Радиус описанной окружности равен \(\displaystyle 1{\small . }\)

Найдите острый угол, противолежащий данной стороне (ответ дайте в градусах).

\(\displaystyle ^{\circ}\)

Решение

Правило

Описанная окружность и прямоугольный треугольник

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы.

Так как радиус описанной окружности равен \(\displaystyle r=1{\small , }\) то гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle c=2\cdot 1=2{\small .}\)

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Следовательно, синус противолежащего угла (назовем его \(\displaystyle \alpha\) ) к стороне с длиной \(\displaystyle \sqrt{2}\) равен

\(\displaystyle \sin(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small .}\)

Так как в прямоугольном треугольнике углы острые (кроме прямого угла) и согласно таблице значений синуса \(\displaystyle \sin(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small , }\) то получаем, что

\(\displaystyle \alpha=45^{\circ}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 45^{\circ}{\small .}\)