Skip to main content

Теория: 01 Прямоугольный треугольник

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle C\) равен \(\displaystyle 90^{\circ}{\small , }\) \(\displaystyle AB=4\sqrt{15}\) и \(\displaystyle \cos(A)=0{,}25{\small .}\)

Найдите высоту \(\displaystyle CH{\small .}\)

\(\displaystyle СH=\)
\frac{15}{4}
Решение

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике

\(\displaystyle \cos(A)=\frac{AC}{AB}{\small .}\) Так как \(\displaystyle AB=4\sqrt{15}\) и \(\displaystyle \cos(A)=0{,}25{\small , }\) то

\(\displaystyle AC=\cos(A)\cdot AB=0{,}25 \cdot 4\sqrt{15}=\sqrt{15}{\small .}\)

По теореме Пифагора \(\displaystyle AB^2=AC^2+CB^2{\small , }\) то есть \(\displaystyle (4\sqrt{15})^2=(\sqrt{15})^2+CB^2{\small .}\) Отсюда

\(\displaystyle CB^2=(4\sqrt{15})^2-(\sqrt{15})^2{\small , }\)

\(\displaystyle CB^2=16\cdot 15-15{\small , }\)

\(\displaystyle CB^2=15\cdot 15{\small , }\)

\(\displaystyle CB=15{\small .}\)

 

Вычислим площадь треугольника \(\displaystyle ABC\) двумя способами:

  1. Половина произведения катетов: \(\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\sqrt{15}\cdot 15=\frac{15}{2}\sqrt{15}{\small .}\)
  2. Половина основания \(\displaystyle AB\) на высоту \(\displaystyle CH:\)
    \(\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2} CH \cdot AB= \frac{1}{2} CH \cdot 4\sqrt{15}=CH \cdot 2\sqrt{15}{\small .}\)

Приравнивая, получаем:

\(\displaystyle \frac{15}{2}\sqrt{15}=CH \cdot 2\sqrt{15}{\small , }\)

\(\displaystyle CH=\frac{15\sqrt{15}}{4\sqrt{15}}{\small , }\)

\(\displaystyle CH=\frac{15}{4}{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle CH=\frac{15}{4}{\small .}\)