Skip to main content

Теория: Обратная теорема Виета и решение квадратного уравнения (в целых числах)

Задание

Используя теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle x^2-4x-5=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\),

\(\displaystyle x_2=\).

Решение

Правило

Обратная теорема Виета

Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)

то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Выделим в данном уравнении коэффициенты:

\(\displaystyle x^2-4x-5= x^2 \color{green}{ -4}x\color{blue}{ -5} {\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -4}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{-5}{\small ,}\) и в нашем случае обратная теорема Виета примет вид

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=4{ \small ,}\\[5px] x_1\cdot x_2&=-5 {\small .}\end{aligned}\right. \)


Разложим свободный член \(\displaystyle c\) на множители различными способами.

\(\displaystyle \color{blue}{ -5}= 1\cdot (-5)\)

Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ -5}= 1\cdot (-5)\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=-5{\small .}\)

Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=4\) для \(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=-5{\small :}\)

\(\displaystyle 1-5\, \cancel{=}\, 4{\small .}\)

Значит,  наше предположение неверно, так как числа \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle -5\) не удовлетворяют обратной теореме Виета.

\(\displaystyle \color{blue}{ -5}= (-1)\cdot 5\)

Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ -5}= (-1)\cdot 5\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=-1\) и \(\displaystyle x_2=5{\small .}\)

Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=4\) для \(\displaystyle x_1=-1\) и \(\displaystyle x_2=5{\small :}\)

\(\displaystyle (-1)+5 = 4{\small .}\)

Значит,  наше предположение верно, так как числа \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 5\) удовлетворяют обратной теореме Виета.

Таким образом, \(\displaystyle \color{red}{ -1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ 5}\) – корни квадратного уравнения

\(\displaystyle x^2-4x-5=0{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 5{\small .} \)