Skip to main content

Теория: Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Задание

Каким должно быть число \(\displaystyle x\), чтобы \(\displaystyle x \) вместе с числами \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 8\) образовывало геометрическую прогрессию в некотором порядке? Если таких вариантов несколько – запишите в ответ \(\displaystyle d\) сумму различных \(\displaystyle x{\small .} \) 

\(\displaystyle d=\)
32,5
Решение

Сначала рассмотрим прогрессии, в которых член \(\displaystyle 2\) идет раньше, чем \(\displaystyle 8{\small .}\)

В зависимости от положения \(\displaystyle x \) в такой прогрессии возможны три случая:

  • прогрессия \(\displaystyle x{ \small ,}\,2{ \small ,}\,8{\small ; } \)
  • прогрессия \(\displaystyle 2{ \small ,}\,x{\small , }\,8{ \small ;} \)
  • прогрессия \(\displaystyle 2{ \small ,}\,8{ \small ,}\,x{\small . } \)

Рассмотрим по порядку эти случаи, найдя в каждом из них значение \(\displaystyle x{\small .} \)

Прогрессия \(\displaystyle x{ \small ,}\,2{ \small ,}\,8 \)

Запишем элементы этой прогрессии:

\(\displaystyle b_1=x{ \small ,}\,b_2=2 \) и \(\displaystyle b_3=8 \)

Найдем \(\displaystyle q{ \small ,} \) разделив \(\displaystyle b_3 \) на \(\displaystyle b_2{\small : } \)

\(\displaystyle q= \frac{ 8}{ 2 }=4{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle b_1=\frac{ b_2}{ q } \)  и \(\displaystyle b_1=\frac{ 2}{ 4 }=\frac{ 1}{ 2 } {\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle b_1=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 2 } {\small .} \)

Прогрессия \(\displaystyle 2{ \small ,}\,x{\small , }\,8 \)

Запишем элементы этой прогрессии:

\(\displaystyle b_1=2{ \small ,}\,b_2=x\) и \(\displaystyle b_3=8 \)

Найдем \(\displaystyle q{ \small .} \) Так как \(\displaystyle b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,} \) то получаем:

\(\displaystyle 8=2\cdot q^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle q^2=4{ \small ,} \)

\(\displaystyle q=2 \) или \(\displaystyle q=-2{\small .} \)

Если \(\displaystyle q=2{ \small ,} \) то

\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q\) и \(\displaystyle b_2=2\cdot 2=4{\small .} \)

Если же \(\displaystyle q=-2{ \small ,} \) то

\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q\) и \(\displaystyle b_2=2\cdot (-2)=-4{\small .} \)

Поскольку \(\displaystyle b_2=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=4\) или \(\displaystyle x=-4{\small .} \)

Прогрессия \(\displaystyle 2{ \small ,}\,8{ \small ,}\,x \)

Запишем элементы этой прогрессии:

\(\displaystyle b_1=2{ \small ,}\,b_2=8\) и \(\displaystyle b_3=x\)

Найдем \(\displaystyle q{ \small ,} \) разделив \(\displaystyle b_2 \) на \(\displaystyle b_1{\small : } \)

\(\displaystyle q= \frac{ 8}{ 2 }=4{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle b_3=b_2\cdot q \)  и \(\displaystyle b_3=8\cdot 4=32 {\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle b_3=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=32 {\small .} \)

Таким образом, \(\displaystyle x \) может быть равен \(\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }{ \small ,}\,4{ \small ,}\,-4 \) или \(\displaystyle 32{\small .} \)

[rem]

В случае, если \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 8\) в прогрессии идут в другом порядке, получаем те же значения \(\displaystyle x{\small :}\)

  • в прогрессии \(\displaystyle x{ \small ,}\,8{ \small ,}\,2\) получится \(\displaystyle x=32 {\small ;} \)
  • в прогрессии \(\displaystyle 8{ \small ,}\,x{\small , }\,2 \) получится \(\displaystyle x=4 \) или \(\displaystyle x=-4{\small ;} \)
  • в прогрессии \(\displaystyle 8{ \small ,}\,2{ \small ,}\,x \) получится \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 2 }{\small .} \)

[/rem]

В ответ запишем сумму различных найденных решений:

\(\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }+4+(-4)+32=32{,}5{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 32{,}5{\small .} \)