Skip to main content

Теория: 04 Квадратичные неравенства с положительным дискриминантом

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle x^2+2x-8>0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2+2x-8 \) на множители.

\(\displaystyle x^2+2x-8=(x-2)(x+4) \)

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle x^2+2x-8=1\cdot x^2+2\cdot x-8=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 2}\cdot x\color{blue}{ -8}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 2}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -8}{\small .} \)

Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:

\(\displaystyle x^2+2x-8=0{ \small ,} \)

и найдем его корни.

Вычислим дискриминант. Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{2}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -8})=4+32=36\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 36}=6{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4{\small .}\)

Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle -4{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle x^2+2x-8=\color{red}{ 1}\cdot (x-2)(x-(-4))=(x-2)(x+4) {\small .}\)

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2+2x-8>0 \) превращается в неравенство

\(\displaystyle (x-2)(x+4)>0{\small .}\)


Запишем неравенство \(\displaystyle (x-2)(x+4)>0 \) в виде систем эквивалентных линейных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle (x-2)(x+4)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x-2>0{ \small ,}\, x+4>0\) – оба множителя больше нуля;
  • либо \(\displaystyle x-2<0{ \small ,}\, x+4<0\) – оба множителя меньше нуля.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&>0{ \small ,}\\x+4&> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&< 0{ \small ,}\\x+4& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>2{ \small ,}\\x&> -4\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 2{ \small ,}\\x& < -4{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>2{ \small ,}\\ x &>-4 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x>2\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x>-4\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle 2\) и больше \(\displaystyle -4{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (2;+\infty){\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<2{ \small ,}\\ x &<-4{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< 2\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x<-4\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 2\) и меньше \(\displaystyle -4{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;-4){\small .} \)

 


Объединяя полученные решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (2;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-4) \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-4)\cup (2;+\infty){\small .} \)