Решите неравенство:
\(\displaystyle -7x^2-35x+42 \ge 0{\small .}\)
Вынесем в многочлене \(\displaystyle -7x^2-35x+42 \) общий множитель за скобки:
\(\displaystyle -7x^2-35x+42=-7(x^2+5x-6){\small .} \)
Получили неравенство \(\displaystyle -7(x^2+5x-6)\ge 0{\small .} \)
Упростим это неравенство, разделив обе его части на \(\displaystyle -7{\small . } \)
При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:
\(\displaystyle \color{blue}{ -7}(x^2+5x-6)\ge 0 \,| : (\color{blue}{ -7})\)
\(\displaystyle x^2+5x-6\le 0{\small .} \)
Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2+5x-6 \) на множители.
Выделим коэффициенты:
\(\displaystyle x^2+x-6=1\cdot x^2+5\cdot x-6=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 5}\cdot x\color{blue}{ -6}{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 5}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -6}{\small .} \)
Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2+5x-6=0{ \small ,} \)
и найдем его корни.
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{5}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -6})=25+24=49\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 49}=7{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1= \frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6{\small .}\)
Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.
Разложение на множители
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)
где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)
В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle -6{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle x^2+5x-6=\color{red}{ 1}\cdot (x-1)(x-(-6))=(x-1)(x+6) {\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle x^2+5x-6\le 0 \) превращается в неравенство
\(\displaystyle (x-1)(x+6)\le 0{\small .}\)
Запишем неравенство \(\displaystyle (x-1)(x+6)\le 0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.
Все решения неравенства \(\displaystyle (x-1)(x+6)\le 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x-1\ge 0{ \small ,}\, x+6\le 0\) – первый множитель неотрицательный, второй неположительный;
- либо \(\displaystyle x-1\le 0{ \small ,}\, x+6\ge 0\) – первый множитель неположительный, второй неотрицательный.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-1&\ge 0{ \small ,}\\x+6 &\le 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-1&\le 0{ \small ,}\\x+6& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 1{ \small ,}\\x&\le -6\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 1{ \small ,}\\x& \ge -6{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившиеся системы.
Таким образом, получили:
\(\displaystyle x\in [-6;1]{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in [-6;1]{\small .} \)