Skip to main content

Теория: 08 Произведение и частное простейших неравенств

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle \frac{24}{(6x-42)^2}\ge 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Дробь \(\displaystyle \frac{24}{(6x-42)^2} \ge 0{ \small ,}\) если

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}24&\ge 0{ \small ,}\\(6x-42)^2 &> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}24&\le 0{ \small ,}\\(6x-42)^2& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Так как

  • неравенство \(\displaystyle 24\ge 0\) всегда верно, то первая система упрощается до неравенства \(\displaystyle (6x-42)^2>0{\small ; }\)
  • неравенство \(\displaystyle 24\le 0\) неверно, поэтому вторая система не имеет решений.


Решим неравенство

\(\displaystyle (6x-42)^2>0{\small .} \)

Квадрат выражения неотрицателен, то есть

\(\displaystyle (6x-42)^2\ge 0 \) для любого \(\displaystyle x{\small .} \)

Это можно расписать, что для любого \(\displaystyle x \) либо \(\displaystyle (6x-42)^2>0{ \small ,} \) либо \(\displaystyle (6x-42)^2=0{\small .}\)

Следовательно, необходимо  исключить те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle (6x-42)^2=0{\small .}\)

Так как \(\displaystyle (6x-42)^2\,\cancel{=}\,0\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle 6x-42\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\) то:

\(\displaystyle 6x-42\,\cancel{=}\,0{ \small ,} \)

\(\displaystyle 6x\,\cancel{=}\,42{ \small ,} \)

\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,7{\small .} \)

Таким образом, решениями неравенства \(\displaystyle (6x-42)^2>0\) будут все числа, кроме \(\displaystyle x=7{\small .} \) То есть

\(\displaystyle x\in (-\infty;7)\) или \(\displaystyle x\in (7;+\infty){\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;7)\cup(7;+\infty){\small .} \)