Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(3x-9)^2}> 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Так как \(\displaystyle (x-2)^2\ge 0\) и \(\displaystyle (3x-9)^2\ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то
\(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(3x-9)^2}\ge 0 \) для всех \(\displaystyle x{\small ,}\) для которых \(\displaystyle (3x-9)^2\,\cancel{=}\,0{\small .} \)
Можем перереписать неравенство как
для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) для которого \(\displaystyle (3x-9)^2\,\cancel{=}\,0{\small ,} \)
либо \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(3x-9)^2}>0{ \small ,}\) либо \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(3x-9)^2}=0{\small .}\)
И поскольку по условию нужно, чтобы выполнялось \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(3x-9)^2}>0{ \small ,}\) то это означает, что не подходят те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(3x-9)^2} =0\) и \(\displaystyle (3x-9)^2=0{\small .} \)
Получили систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{(x-2)^2}{(3x-9)^2}&\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\\(3x-9)^2 &\,\cancel{=}\, 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решая, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}(x-2)^2&\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\\(3x-9)^2 &\,\cancel{=}\, 0{\small ; }\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\\3x-9&\,\cancel{=}\, 0{\small ; }\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\,\cancel{=}\, 2{ \small ,}\\x&\,\cancel{=}\, 3{\small .}\end{aligned}\right.\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;2)\cup (2;3)\cup (3;+\infty){\small .} \)