Выберите верные знаки и обозначения точек на числовой прямой для выражения \(\displaystyle \frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)}\) при решении неравенства методом интервалов:
\(\displaystyle \frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)} \le 0{\small .}\)
Найдем корни числителя \(\displaystyle (3-x)(x-1)^3 \) и знаменателя \(\displaystyle (x-1)(x-3){\small : } \)
\(\displaystyle (3-x)(x-1)^3=0 \) или \(\displaystyle (x-1)(x-3)=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle 3-x=0\) или \(\displaystyle (x-1)^3=0 \) или \(\displaystyle x-1=0\) или \(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x-3=0\) или \(\displaystyle x-1=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x=1{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle x=3\) – обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми. Получаем:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)}\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)}\) в произвольно выбранной точке интервала.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{ \small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{(3-0)(0-1)^3}{(0-1)(0-3)}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (1;3)\) выберем \(\displaystyle x=2 \in (1;3){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=2 { \small :}\)
\(\displaystyle f(2)=\frac{(3-2)(2-1)^3}{(2-1)(2-3)}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;3){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=4 { \small :}\)
\(\displaystyle f(4)=\frac{(3-4)(4-1)^3}{(4-1)(4-3)}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
