Skip to main content

Теория: Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите наименьшее значение функции \(\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-9x-5\) на отрезке \(\displaystyle \left[-10;\, 10\right]{\small.}\)

-615
Решение

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-9x-5{\small:}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(x^3+3x^2-9x-5\right)^{\prime}=3x^2+6x-9{\small.}\)

2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)

Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+6x-9{\small,}\) то для этого необходимо решить квадратное уравнение

\(\displaystyle 3x^2+6x-9=0{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=-3\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle 3x^2+6x-9=0{\small.}\)

3) Отметим корни производной на числовой прямой, а также определим ее знаки на получившихся интервалах.

  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,-3)}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(1;\, +\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-3;\, 1\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-9x-5{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Значит, \(\displaystyle x=-3\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-9x-5{\small.}\)

А точка \(\displaystyle x=1\) – точка минимума.

5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[-10;\,10\right]\) достигается наименьшее значение.

Точка минимума \(\displaystyle x=1\) попадает в промежуток \(\displaystyle \left[-10;\,10\right]{\small.}\)

Подставляем точку минимума \(\displaystyle \color{green}{x=1}\) и концы промежутка \(\displaystyle \color{blue}{x=-10}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=10}\) в \(\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-9x-5{\small:}\)

  • \(\displaystyle f(\color{green}{1})=1^3+3\cdot1^2-9\cdot1-5=1+3-9-5=-10{\small,}\)
  • \(\displaystyle f(\color{blue}{-10})=(-10)^3+3\cdot(-10)^2-9\cdot(-10)-5=-1000+300+90-5=-615{\small,}\)
  • \(\displaystyle f(\textcolor{Purple}{10})=10^3+3\cdot10^2-9\cdot10-5=1000+300-90-5=1205{\small.}\)

Видим, что наименьшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{green}{x=-10}\) и оно равно \(\displaystyle f(\color{green}{-10})=-615{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle -615{\small.}\)

Замечание / комментарий

Отметим на картинке отрезок \(\displaystyle \left[-10;\,10\right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[-10;\,10\right]\) функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наименьшего значения либо в точке минимума \(\displaystyle x=1{\small,}\) либо на левом конце \(\displaystyle x=-10{\small.}\)