Skip to main content

Теория: Максимум и минимум (показательные функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите наибольшее значение функции \(\displaystyle f(x)=\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}\) на отрезке \(\displaystyle [0;4]{\small.}\)

1
Решение

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}\right)^{\prime}=(2x-7)e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small.}\)

Упростим выражение \(\displaystyle (2x-7)e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small.}\)

Вынесем \(\displaystyle e^{x-4}\) за скобку, а затем приведем подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{aligned}(2x-7)e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}=\left(\color{red}{\underline{\color{black}{2x}}}-{\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{7}}}}}+\color{red}{\underline{\underline{\underline{\color{black}{x^2}}}}}-\color{red}{\underline{\color{black}{7x}}}+{\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{13}}}}}\right)e^{x-4}=\\[10px]=\left(\color{red}{\underline{\underline{\underline{\color{black}{x^2}}}}}-\color{red}{\underline{\color{black}{5x}}}+{\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{6}}}}}\right)e^{x-4}{\small.}\end{aligned}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=(2x-7)e^{x-4}+\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}=\left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}{\small.}\)

2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)

Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}{\small,}\) то для этого необходимо решить уравнение

\(\displaystyle \left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}=0{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=2\) корни уравнения \(\displaystyle \left(x^2-5x+6\right)e^{x-4}=0{\small.}\)

3) Отметим корни производной на числовой прямой, а также определим ее знаки на получившихся интервалах.

  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,2)}\) и \(\displaystyle \color{Purple}{(3;\,+\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{(2;\, 3)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)

 


Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Значит, \(\displaystyle x=2\) – точка максмума функции \(\displaystyle f(x)=\left(x^2-7x+13\right)e^{x-4}{\small.}\)

А \(\displaystyle x=3\) – точка минимума.

5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[0;\,4\right]\) достигается наибольшее значение.

Отметим на картинке интервал \(\displaystyle \left[0;\,4\right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[0;\,4\right]\) функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наибольшего значения либо в точке максимума \(\displaystyle \color{green}{x={2}}{\small,}\) либо на правом конце \(\displaystyle \color{blue}{x=4}{\small.}\)

Вычислим значения в этих точках и сравним их:

\(\displaystyle f\left(\color{green}{2}\right)=(2^2-7\cdot2+13)e^{2-4}=(4-14+13)\cdot e^{-2}={3e^{-2}}=\color{green}{\frac{3}{e^2}}{\small,}\)

\(\displaystyle f(\color{blue}{4})=(4^2-7\cdot4+13)e^{4-4}=16-28+13=\color{blue}{1}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle e>2{\small,}\) то

\(\displaystyle \color{green}{\frac{3}{e^2}}<\frac{3}{2^2}=\frac{3}{4}<\color{blue}{1}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle f(\color{green}{2})<f(\color{blue}{4}){\small.}\)

Значит, наибольшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{blue}{x=4}\) и оно равно \(\displaystyle f(\color{blue}{4})=\color{blue}{1}\)

Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)