Skip to main content

Теория: Максимум и минимум (тригонометрические функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите наибольшее значение функции \(\displaystyle f(x)=12\cos x+6\sqrt{3} x-2\sqrt{3}\pi +6\) на отрезке \(\displaystyle \left[0;\frac{\pi }{2}\right]{\small.}\)

12
Решение

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=12\cos x+6\sqrt{3} x-2\sqrt{3}\pi +6{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(12\cos x+6\sqrt{3} x-2\sqrt{3}\pi +6\right)^{\prime}=-12\sin x + 6\sqrt{3}{\small.}\)

2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)

Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=-12\sin x+6\sqrt{3}{\small,}\) то для этого необходимо решить уравнение

\(\displaystyle -12\sin x+6\sqrt{3}=0{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{3}+2\pi n{\small,}\,\, n \in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{2\pi}{3}+2\pi m{\small,}\,\, m \in \mathbb{Z}\) корни уравнения \(\displaystyle -12\sin x+6\sqrt{3}=0{\small.}\)

3) Из множества корней выберем те, которые принадлежат отрезку \(\displaystyle \left[0;\frac{\pi }{2}\right]{\small.}\)

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}\) корень уравнения \(\displaystyle -12\sin x+6\sqrt{3}=0{\small,}\) лежащий на отрезке \(\displaystyle [ 0;\frac{\pi }{2} ]{\small.}\)

4) Отметим на числовой прямой корни производной \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{3}+2\pi n{\small,}\,\, n \in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{2\pi}{3}+2\pi m{\small,}\,\, m \in \mathbb{Z}.\)

Так как ищется наибольшее значение функции на отрезке \(\displaystyle \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]{\small ,}\) то получаем:

Найдем знаки производной на интервалах \(\displaystyle \left(-\frac{4\pi}{3};\,\frac{\pi}{3}\right)\) и \(\displaystyle \left(\frac{\pi}{3};\, \frac{2\pi}{3}\right).\)

  • на интервале \(\displaystyle \color{green}{\left(-\frac{4\pi}{3};\,\frac{\pi}{3}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \color{blue}{\left(\frac{\pi}{3};\, \frac{2\pi}{3}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

Значит, на интервале \(\displaystyle {\left(0;\,\frac{\pi}{3}\right)}\) производная положительна, на интервале \(\displaystyle {\left(\frac{\pi}{3};\, \frac{\pi}{2}\right)}\) производная отрицательна:

5) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=12\cos x+6\sqrt{3} x-2\sqrt{3}\pi +6{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


6) Схематически изобразим \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) функция возрастает до точки \(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}{\small,}\) а затем убывает.

Значит, наибольшее значение на отрезке \(\displaystyle \left[0;\,\frac{\pi}{2}\right]\) достигается в точке \(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}{\small.}\) Вычислим его:

\(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)=12\cos \frac{\pi}{3}+6\sqrt{3} \cdot\frac{\pi}{3}-2\sqrt{3}\pi +6=12\cdot\frac{1}{2}+\cancel{2\sqrt{3}\pi}-\cancel{2\sqrt{3}\pi} +6=12{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 12{\small.}\)