Skip to main content

Теория: Максимум и минимум (тригонометрические функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите наибольшее значение функции \(\displaystyle f(x)=14x-7\tg x-3{,}5\pi +11\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right]{\small.}\)

4
Решение

Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=14x-7\tg x-3{,}5\pi +11{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \tg x\) определен только тогда, когда \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,\frac{\pi}{2}+\pi m{\small,}\,\,m\in\mathbb{Z}{\small,}\) то область определения имеет вид

\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,\frac{\pi}{2}+\pi m{\small.}\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=14x-7\tg x-3{,}5\pi +11{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(14x-7\text{tg} x-3{,}5\pi +11\right)^{\prime}=14-\frac{7}{\cos^2 x}{\small.}\)

Перепишем \(\displaystyle f^{\prime}(x)=14-\frac{7}{\cos^2 x}\) в виде дроби:

\(\displaystyle 14-\frac{7}{\cos^2 x}=\frac{14\cos^2 x-7}{\cos^2 x}{\small.}\)

2) Найдем корни числителя и знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{14\cos^2 x-7}{\cos^2 x}{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n_1{\small,}\) \(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n_2{\small,}\) \(\displaystyle x_3=-\frac{\pi}{4}+2\pi n_3{\small,}\) \(\displaystyle x_4=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n_4{\small,}\) где \(\displaystyle n_1{\small,}\,n_2{\small,}\,n_3{\small,}\,n_4 \in \mathbb{Z}\) корни числителя \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small.}\)

\(\displaystyle x_3=\frac{\pi}{2}+2\pi k{\small,}\,\, k \in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_4=-\frac{\pi}{2}+2\pi l{\small,}\,\, l \in \mathbb{Z}\) корни знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small.}\)

3) Из корней числителя и знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x)\) выберем корни, лежащие на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi }{3}\right]{\small.}\)

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\) и \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}\) корни, лежащие на отрезке \(\displaystyle \lbrack-\frac{\pi}{3};\frac{\pi }{3}\rbrack{\small.}\)

4) Отметим на числовой прямой корни числителя и знаменателя производной. Учитывая область определения функции \(\displaystyle f(x){\small,}\) получаем:

Так как ищется наибольшее значение функции на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi }{3}\right]{\small ,}\) то получаем:

Найдем знаки производной на интервалах \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2};\,-\frac{\pi}{4}\right){\small,}\) \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{4}\right)\) и \(\displaystyle \left(\frac{\pi}{4};\, \frac{\pi}{2}\right){\small.}\)

  • на интервале \(\displaystyle \color{Purple}{\left(-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{4}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{\left(-\frac{\pi}{2};\,-\frac{\pi}{4}\right)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{\left(\frac{\pi}{4};\, \frac{\pi}{2}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

Значит, и на интервалах \(\displaystyle {\left(-\frac{\pi}{3};\,-\frac{\pi}{4}\right)}\) и \(\displaystyle {\left(\frac{\pi}{4};\, \frac{\pi}{3}\right)}\) производная отрицательна:

5) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=14x-7\tg x-3{,}5\pi +11{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


6) Схематически изобразим \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3};\,\frac{\pi }{3} \right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{3};\,\frac{\pi }{3} \right]\) функция достигает наибольшего значения либо в точке максимума \(\displaystyle \color{green}{x=\frac{\pi}{4}}{\small,}\) либо на левом конце в точке \(\displaystyle \color{blue}{x=-\frac{\pi}{3}}{\small.}\) 

Вычислим значения в этих точках и сравним:

\(\displaystyle f\left(\color{green}{\frac{\pi}{4}}\right)=14\cdot\frac{\pi}{4}-7\tg \frac{\pi}{4}-3{,}5\pi+11=\cancel{3{,}5\pi}-7\cdot1-\cancel{3{,}5\pi}+11=\color{green}{4}{\small,}\)

\(\displaystyle f\left(\color{blue}{-\frac{\pi}{3}}\right)=14\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)-7\tg \left(-\frac{\pi}{3}\right)-3{,}5\pi +11=\color{blue}{-7\tg \left(-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{49\pi}{6}+11}{\small.}\)

Используя формулы приведения и таблицу значений тангенса, вычислим \(\displaystyle \tg \left(-\frac{\pi}{3}\right){\small:}\)

\(\displaystyle \tg \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\tg \left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle f\left(\color{blue}{-\frac{\pi}{3}}\right)=\color{blue}{-7\tg \left(-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{49\pi}{6}+11}=\color{blue}{7\sqrt{3}-\frac{49\pi}{6}+11}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \pi>3\) и \(\displaystyle \sqrt{3}<2{\small,}\) получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{7\sqrt{3}-\frac{49\pi}{6}+11}<7\cdot2-\frac{49\cdot3}{6}+11=\frac{1}{2}<\color{green}{4}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle f\left(\color{green}{\frac{\pi}{4}}\right)>f\left(\color{blue}{-\frac{\pi}{3}}\right){\small.}\)

Таким образом, наибольшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{green}{x=\frac{\pi}{4}}\) и оно равно \(\displaystyle {f\left(\color{green}{\frac{\pi}{4}}\right)}=\color{green}{4}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 4{\small.}\)