Skip to main content

Теория: Исследование функций с помощью графика производной (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображен график производной функции \(\displaystyle y = f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (-4; 16){\small .}\) Найдите количество точек максимума функции \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [0; 13]{\small .}\)

1
Решение

В условии задачи требуется найти количество точек максимума на отрезке \(\displaystyle [0; 13]{\small.}\)

Поэтому далее будем рассматривать график \(\displaystyle y=f^{\prime}(x)\) только на отрезке \(\displaystyle [0;\, 13 ]{\small:}\)

1. Отметим на рисунке точки, в которых график пересекает ось \(\displaystyle \rm OX{\small:}\)

Получаем, что \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0\) в точках \(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=7{\small.}\)

2. График разбился на интервалы, где \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)> 0\) и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)< 0{\small :}\)

На интервалах \(\displaystyle (0;\,3)\) и \(\displaystyle (7;\,13)\) производная положительна, на интервале \(\displaystyle (3;\, 7)\) производная отрицательна.

3. Определим промежутки возрастания убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)

ИнтервалыЗнак производнойПоведение функции
\(\displaystyle (0;\,3){\small,}\) \(\displaystyle (7;\,13)\)\(\displaystyle \color{green}{f^{\prime}(x)>0}\)\(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \color{green}{\nearrow}\)
\(\displaystyle (3;\, 7)\)\(\displaystyle \color{blue}{f^{\prime}(x)<0}\)\(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \color{blue}{\searrow}\)


4. Схематично изобразим \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [0; 13]{\small:}\)

Точка \(\displaystyle x=3\) – единственный максимум функции \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [0; 13]{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)