Найдите площадь ромба, если его высота равна \(\displaystyle 7{\small ,}\) а острый угол \(\displaystyle 30^\circ{\small .}\)
Пусть \(\displaystyle a\) – сторона ромба.
Воспользуемся формулой для вычисления площади ромба
\(\displaystyle S=a^2 \sin \alpha {\small ,}\)
где \(\displaystyle \alpha \) – угол между сторонами ромба.
В данном случае \(\displaystyle \alpha = 30^\circ {\small,}\) значит, \(\displaystyle \sin \alpha =0{,}5 {\small .}\) Следовательно,
\(\displaystyle S=a^2 \cdot 0{,}5 {\small .}\)
Воспользуемся другой формулой для вычисления площади ромба
\(\displaystyle S=h\cdot a{\small ,}\)
где \(\displaystyle h\) – высота ромба.
В данном случае \(\displaystyle h =7{\small ,}\) поэтому
\(\displaystyle {S} = {7 }\cdot a {\small.}\)
Из двух соотношений
\(\displaystyle S=a^2 \cdot 0{,}5 {\small }\)
и
\(\displaystyle {S} = {7 }\cdot a {\small }\)
получаем уравнение
\(\displaystyle a^2 \cdot 0{,}5 = {7 }\cdot a {\small.}\)
Поскольку длина отрезка не равна нулю, можно разделить обе части равенства на \(\displaystyle 0{,}5a {\small.}\)
\(\displaystyle a^2 \cdot 0{,}5 = {7 }\cdot a \, | :\color{red}{0{,}5 a}{\small ,}\)
\(\displaystyle a = {14 } {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle S=h\cdot a = 7\cdot 14 = 98{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 98 {\small .}\)