Skip to main content

Теория: 05 Решение рациональных неравенств-2 (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle \frac{ x^2-4x+3}{ x-4 }\geqslant 0{\small .} \)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-4x+3 \) и знаменателя \(\displaystyle x-4{\small : } \)

  • решим уравнение \(\displaystyle x^2-4x+3=0{\small : } \)

\(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=3\) корни уравнения \(\displaystyle x^2-4x+3=0\)

  • решим уравнение \(\displaystyle x-4=0{\small : } \)

\(\displaystyle x=4{\small.} \)

Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

  • все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
  • все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle x=3 \) обращают в ноль числитель и не обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются закрашенными. Поскольку \(\displaystyle x=4 \)  обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:

Получили четыре интервала:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3){ \small ,} \, (3;4)\) и \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)


Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-4}\) на каждом из интервалов. 

Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим числитель дроби на множители, используя найденные корни.

Памятка – разложение на множители квадратного трехчлена

То есть 

\(\displaystyle x^2-4x+3=(x-1)(x-3).\)

Перепишем исходное неравенство в виде

\(\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{x-4}\geqslant 0{\small .} \)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{x-4}\) на каждом из интервалов. 
 

  • Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(0)=\frac{(0-1)(0-3)}{0-4}=\frac{-1\cdot(-3)}{-4}<0{\small .}\)
    Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (1;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(2)=\frac{(2-1)(2-3)}{2-4}=\frac{1\cdot(-1)}{-2}>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (1;3){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (3;4)\) выберем \(\displaystyle x=3{,}5{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(3{,}5)=\frac{(3{,}5-1)(3{,}5-3)}{3{,}5-4}=\frac{2{,}5\cdot0{,}5}{-0{,}5}<0{\small .}\)
    Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (3;4){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=5{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(5)=\frac{(5-1)(5-3)}{5-4}=\frac{4\cdot2}{1}>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)


В итоге получаем:


Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{x-4}\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают граничные невыколотые точки , то

\(\displaystyle [1;3]\cup (4;+\infty)\) – искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle x \in [1;3]\cup (4;+\infty){\small .}\)