Skip to main content

Теория: Кратные точки и случаи большого числа интервалов

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle \frac{x^2-7x+12}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0{\small .} \)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-7x+12 \) и знаменателя \(\displaystyle (x-1)(x-2){\small : } \)

  • решим уравнение \(\displaystyle x^2-7x+12=0{\small : } \)

\(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=4\) корни уравнения \(\displaystyle x^2-7x+12=0\)

  • решим уравнение \(\displaystyle (x-1)(x-2)=0{\small : } \)

\(\displaystyle x-1=0\) или \(\displaystyle x-2=0{\small ,} \)

\(\displaystyle x=1\) или \(\displaystyle x=2{\small .} \)


Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

  • все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
  • все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=4\) обращают в ноль числитель и не обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются закрашенными. Поскольку \(\displaystyle x=1 \) и \(\displaystyle x=2 \) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми:

Получили пять интервалов:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2){ \small ,} \, (2;3) { \small ,} \, (3;4)\) и \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)


Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-7x+12}{(x-1)(x-2)}\) на каждом из интервалов. 

Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим числитель дроби на множители, используя найденные корни.

Памятка – разложение на множители квадратного трехчлена

То есть 

\(\displaystyle x^2-7x+12=(x-3)(x-4){\small .}\)

Перепишем исходное неравенство в виде

\(\displaystyle \frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0{\small .} \)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)}\) на каждом из интервалов. 

  • Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(0)=\frac{(0-3)(0-4)}{(0-1)(0-2)}=\frac{-3\cdot(-4)}{-1\cdot(-2)}>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{(1{,}5-3)(1{,}5-4)}{(1{,}5-1)(1{,}5-2)}=\frac{-1{,}5\cdot(-2{,}5)}{0{,}5\cdot(-0{,}5)}<0{\small .}\)
    Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;2){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{(2{,}5-3)(2{,}5-4)}{(2{,}5-1)(2{,}5-2)}=\frac{-0{,}5\cdot(-1{,}5)}{1{,}5\cdot0{,}5}>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (3;4)\) выберем \(\displaystyle x=3{,}5{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(3{,}5)=\frac{(3{,}5-3)(3{,}5-4)}{(3{,}5-1)(3{,}5-2)}=\frac{0{,}5\cdot(-0{,}5)}{2{,}5\cdot1{,}5}<0{\small .}\)
    Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (3;4){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=5{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(5)=\frac{(5-3)(5-4)}{(5-1)(5-2)}=\frac{2\cdot1}{4\cdot3}>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)


В итоге получаем:


Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают граничные невыколотые точки , то

\(\displaystyle (-\infty;1)\cup (2;3]\cup[4;+\infty)\) – искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;1)\cup (2;3]\cup[4;+\infty){\small .}\)