Найдите наименьшее значение функции \(\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-13\) на отрезке \(\displaystyle \left[-9;\, 9\right]{\small.}\)
1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-13{\small:}\)
2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)
Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+12x-15{\small,}\) то для этого необходимо решить квадратное уравнение
\(\displaystyle 3x^2+12x-15=0{\small.}\)
3) Отметим корни производной на числовой прямой, а также определим ее знаки на получившихся интервалах.
- на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,-5)}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(1;\, +\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
- на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-5;\, 1\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)
Отмечая знаки производной на рисунке, получаем:
4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-13{\small ,}\) пользуясь правилом.
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Зная знаки производной \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Схематично изобразим график \(\displaystyle f(x){\small:}\)
Значит, \(\displaystyle x=-5\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-13{\small.}\)
А точка \(\displaystyle x=1\) – точка минимума.
5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[-9;\,9\right]\) достигается наименьшее значение.
Точка минимума \(\displaystyle x=1\) попадает в промежуток \(\displaystyle \left[-9;\,9\right]{\small.}\)
Подставляем точку минимума \(\displaystyle \color{green}{x=1}\) и концы промежутка \(\displaystyle \color{blue}{x=-9}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=9}\) в \(\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-13{\small:}\)
- \(\displaystyle f(\color{green}{1})=1^3+6\cdot1^2-15\cdot1-13=1+6-15-13=-21{\small,}\)
- \(\displaystyle f(\color{blue}{-9})=(-9)^3+6\cdot(-9)^2-15\cdot(-9)-13=-729+486+135-13=-121{\small,}\)
- \(\displaystyle f(\color{blue}{9})=9^3+6\cdot9^2-15\cdot9-13=729+486-135-13=1067{\small.}\)
Видим, что наименьшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{green}{x=-9}\) и оно равно \(\displaystyle f(\color{green}{-9})=-121{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -121{\small.}\)
Отметим на картинке отрезок \(\displaystyle \left[-9;\,9\right]{\small:}\)
Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[-9;\,9\right]\) функция \(\displaystyle f(x)\) достигает наименьшего значения либо в точке минимума \(\displaystyle x=1{\small,}\) либо на левом конце \(\displaystyle x=-9{\small.}\)