Skip to main content

Теория: Функция корня квадратного (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4}\sqrt{x+b}+c\small.\)  Найдите значение \(\displaystyle x\small,\) при котором \(\displaystyle f\left(x\right)=8\small.\)

\(\displaystyle x=\)

Решение

Чтобы найти значение \(\displaystyle x\small,\) при котором \(\displaystyle f\left(x\right)=8\small,\)

  • найдем неизвестные коэффициенты \(\displaystyle \color{blue}b\) и \(\displaystyle \color{green}c\small,\)
  • решим уравнение \(\displaystyle \frac{5}{4} \cdot \sqrt{x+\color{blue}b}+\color{green}c=8\small.\)


Обозначим отмеченную точку на графике функции  \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4}\sqrt{x+\color{blue}{b}}+\color{green}c\) буквой \(\displaystyle \color{red}A\small.\)

Определим её координаты:

\(\displaystyle x_0=\color{red}{-1}\) – абсцисса,  \(\displaystyle y_0=\color{red}{-2}\) – ордината точки  \(\displaystyle \color{red}A\small.\)


Найдем значение \(\displaystyle \color{blue}{b}\small.\)

По графику заметим, что абсцисса \(\displaystyle x_0=\color{red}{-1}\) точки \(\displaystyle \color{red}{A} \) равна наименьшему значению переменной \(\displaystyle x\) из области определения функции  \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4}\sqrt{x+\color{blue}{b}}+\color{green}c \small.\)

Найдем область определения данной функции.

Воспользуемся правилом:

Правило

Корень из числа \(\displaystyle a\) существует (в действительных числах), если \(\displaystyle a\) неотрицательно.

То есть \(\displaystyle \sqrt{a}\) существует, если \(\displaystyle a \geq 0 \small.\)

В нашем случае

\(\displaystyle x+\color{blue}{b} \geq 0\small.\)

Откуда

\(\displaystyle x \geq -\color{blue}b\small.\)

Следовательно, \(\displaystyle x=-\color{blue}b \) – это наименьшее значение переменной в области определения функции.

Значит,

 \(\displaystyle -\color{blue}b=\color{red}{-1} \small, \)

 \(\displaystyle \color{blue}b=\color{blue}1 \small. \)

Подставим найденное значение \(\displaystyle \color{blue}b,\) получим:

\(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4}\sqrt{x+\color{blue}1}+\color{green}c\small.\)


Найдем значение \(\displaystyle \color{green}c\small.\)

Отметим, что точка \(\displaystyle \color{red}{A(-1;-2)} \) лежит на графике функции \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4}\sqrt{x+\color{blue}1}+\color{green}c\small.\)

Значит, при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{red}{-1}\) и \(\displaystyle y=\color{red}{-2}\) в уравнение \(\displaystyle y=\frac{5}{4}\sqrt{x+\color{blue}1}+\color{green}c\) получим верное равенство.

Таким образом, получаем уравнение:

\(\displaystyle \color{red}{-2}=\frac{5}{4}\sqrt{\color{red}{-1}+\color{blue}1}+\color{green}c\small,\)

откуда

\(\displaystyle \color{green}c=\color{green}{-2} \small.\)

Подставим  \(\displaystyle \color{green}c=\color{green}{-2}{:} \)

 \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{5}{4}\sqrt{x+\color{blue}{1}}\color{green}{-2}\small.\)


Найдем значение \(\displaystyle x\small,\) при котором \(\displaystyle f\left(x\right)=8\small.\)

Для этого нужно решить уравнение

 \(\displaystyle \frac{5}{4}\cdot \sqrt{x+1}-2=8\small.\)

\(\displaystyle x=63\) единственный корень уравнения  \(\displaystyle \frac{5}{4}\sqrt{x+1}-2=8\)

Ответ:  \(\displaystyle 63{\small.}\)