Skip to main content

Теория: 06 Пересечение прямых

Задание

На рисунке изображены графики функций вида \(\displaystyle f(x)=kx+b{\small,}\) которые пересекаются в точке \(\displaystyle T{\small.}\) Найдите абсциссу точки \(\displaystyle T{\small.}\)
 


-5
Решение

Чтобы найти абсциссу точки пересечения прямых:

  • составим уравнения данных прямых;
  • составим и решим систему уравнений, которой удовлетворяет точка пересечения прямых.


Обозначим точки, отмеченные на прямых, как показано на рисунке. Определим координаты этих точек. 
 


 

1. Найдем коэффициенты \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) в уравнении прямой \(\displaystyle \color{green}{AB}{ \small .}\)

Прямая проходит через точки \(\displaystyle \color{green}A(\color{green}{-1};\color{green}{5})\) и \(\displaystyle \color{green}B(\color{green}{-2};\color{green}{1}){ \small .}\)
Значит, 

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{5}\) в уравнение \(\displaystyle y=k{x} +b\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-2}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{1}\) в уравнение \(\displaystyle y=k{x} +b\) получим верное равенство.

Подставляя, получаем: 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{5}&=k\cdot (\color{green}{-1}) + b{ \small ,}\\\color{green}{1}&=k\cdot (\color{green}{-2}) + b{ \small ;}\end{aligned}\right. \)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5&=-k+ b{ \small ,}\\1&=-2k+ b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим эту систему.

\(\displaystyle k=4\) и \(\displaystyle b=9\)

Значит, уравнение прямой  \(\displaystyle \color{green}{AB}\) имеет вид

\(\displaystyle \color{green}{y=4x+9}{ \small .}\)


2. Найдем коэффициенты \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) в уравнении прямой \(\displaystyle \color{blue}{CD}{ \small .}\)

Прямая проходит через точки  \(\displaystyle \color{blue}C(\color{blue}{3};\color{blue}{1})\) и \(\displaystyle \color{blue}D(\color{blue}{1};\color{blue}{-2}){ \small .}\)

Значит, 

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{3}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{1}\) в уравнение \(\displaystyle y=k{x} +b\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{-2}\) в уравнение \(\displaystyle y=k{x} +b\) получим верное равенство.

Подставляя, получаем: 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{1}&=k\cdot \color{blue}{3}+ b{ \small ,}\\\color{blue}{-2}&=k\cdot \color{blue}{1}+ b{ \small ;}\end{aligned}\right. \)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}1&=3k+ b{ \small ,}\\-2&=k+ b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим эту систему.

\(\displaystyle k=\frac{3}{2}\) и \(\displaystyle b=-\frac{7}{2}\)

Значит, уравнение прямой \(\displaystyle \color{blue}{CD}\) имеет вид

\(\displaystyle \color{blue}{y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}}{ \small .}\)
 

3. Составим и решим систему уравнений, которой удовлетворяет точка \(\displaystyle T\) пересечения данных прямых.

Точка \(\displaystyle T(x;y)\) лежит одновременно на прямой \(\displaystyle \color{green}{y=4x+9}\) и на прямой  \(\displaystyle \color{blue}{y=1{,}5x-3{,}5}{ \small .}\)

Поэтому её координаты удовлетворяют системе уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=4x+9{ \small ,}\\y&=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим её.

\(\displaystyle x=-5\) и \(\displaystyle y=-11\) –  решение данной системы

Таким образом точка пересечения данных прямых – точка \(\displaystyle T(-5;-11){ \small .}\)

В ответе требуется записать абсциссу точки \(\displaystyle T{ \small .}\) Это \(\displaystyle -5{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle -5 {\small .}\)