Skip to main content

Теория: Вычитание дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (разложение на множители)

Задание

Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой  знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

\(\displaystyle \frac{7}{2^3\cdot 5}-\frac{3}{2^2\cdot 7}\,=\)
 
Решение

В выражении \(\displaystyle \frac{7}{2^3\cdot 5}-\frac{3}{2^2\cdot 7}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Найдем наименьший общий знаменатель этих дробей в виде произведения простых чисел.

Это наименьшее число, которое делится на \(\displaystyle 2^3\cdot 5\) и \(\displaystyle 2^2\cdot 7{\small ,}\) то есть это наименьшее общее кратное этих чисел. Тогда

\(\displaystyle НОК( 2^3\cdot 5, 2^2\cdot 7)=2^3\cdot 5\cdot 7{\small .}\)

Правило

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:

1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;

2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.

1. Выпишем простые множители двух чисел.

Простые множители числа \(\displaystyle 2^3\cdot 5\)  – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 5{\small .}\)

Простые множители числа \(\displaystyle 2^2\cdot 7\)  – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 7{\small .}\)

Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: \(\displaystyle 2{\small ,}\) \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7{\small .}\)

2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.

Рассмотрим степени \(\displaystyle 2{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 2^{3}{\small ,}\) во втором числе – \(\displaystyle 2^2{\small .}\) Наибольшая степень из \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\) – это \(\displaystyle 3{\small .}\) 

Следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}{3}}{\small .}\)

Рассмотрим степени \(\displaystyle 5{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 5^1{\small ,}\) во втором числе нет множителя \(\displaystyle 5{\small .}\)

Следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 5^{\color{red}1}{\small .}\)

Рассмотрим степени \(\displaystyle 7{\small .}\) В первом числе нет множителя \(\displaystyle 7{\small ,}\) во втором числе это \(\displaystyle 7^{1}{\small .}\)

Следовательно, третий общий множитель берем \(\displaystyle 7^{\color{green}1}{\small .}\)

3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 2^{\color{blue}3}\cdot 5^{\color{red}{1}}\cdot 7^{\color{green}1}{\small .}\)

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен

\(\displaystyle 2^3\cdot 5\cdot 7{\small .}\)

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3 \cdot 5\cdot 7{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{7}{2^3\cdot 5} \longrightarrow \frac{7\cdot \color{blue}{ 7}}{2^3\cdot 5\cdot\color{blue}{ 7} }{ \small ,}\\[10px]\frac{3}{2^2\cdot 7 } \longrightarrow \frac{3\cdot \color{green}{2}\cdot\color{green}{ 5}}{ 2^2\cdot\color{green}{ 2} \cdot\color{green}{ 5} \cdot7}{\small .}\end{aligned}\)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{7}{2^3\cdot 5}-\frac{3}{2^2\cdot 7 }=\frac{7\cdot \color{blue}{ 7}}{2^3\cdot 5\cdot\color{blue}{ 7} }- \frac{3\cdot \color{green}{2}\cdot\color{green}{ 5}}{ 2^2\cdot\color{green}{ 2} \cdot\color{green}{ 5} \cdot7}=\frac{7\cdot 7-3\cdot 2\cdot 5}{ 2^3\cdot 5 \cdot 7 }{\small .}\)


Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:

\(\displaystyle \frac{7\cdot 7-3\cdot 2\cdot 5}{ 2^3\cdot 5 \cdot 7 }=\frac{49-30}{ 280}=\frac{ 19}{ 280 }{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle \frac{19}{280}{\small .}\)