Найдите сумму дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):
| \(\displaystyle \frac{6}{75}+\frac{13}{125}\,=\) |
В выражении \(\displaystyle \frac{6}{75}+\frac{13}{125}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 75\) и \(\displaystyle 125\) на простые множители.
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 75{\small :}\)
\(\displaystyle 75= 3\cdot5^2{\small .}\)
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 125{\small :}\)
\(\displaystyle 125=5^3{\small .}\)
Получили сумму дробей:
\(\displaystyle \frac{6}{75}+\frac{13}{125}=\frac{6}{3\cdot5^2}+\frac{13}{5^3}{\small .}\)
Найдем наименьший общий знаменатель этих дробей в виде произведения простых чисел.
Это наименьшее число, которое делится на \(\displaystyle 3\cdot5^2\) и \(\displaystyle 5^3{\small ,}\) то есть это наименьшее общее кратное этих чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:
1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;
2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Простые множители числа \(\displaystyle 3\cdot5^2\) – это \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 5{\small .}\)
Простые множители числа \(\displaystyle 5^3\) – это \(\displaystyle 5{\small .}\)
Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 5{\small .}\)
2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.
Рассмотрим степени \(\displaystyle 3{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 3^{1}{\small ,}\) во втором числе нет множителя \(\displaystyle 3{\small .}\)
Следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 3^{\color{blue}1}{\small .}\)
Рассмотрим степени \(\displaystyle 5{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 5^{2}{\small ,}\) во втором – \(\displaystyle 5^{3}{\small .}\) Наибольшая степень из \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\) – это \(\displaystyle 3{\small .}\)
Следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 5^{\color{red}{3}}{\small .}\)
3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 3^{\color{blue}1}\cdot 5^{\color{red}{3}}{\small .}\)
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен
\(\displaystyle 3\cdot 5^3{\small .}\)
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 3\cdot 5^3{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{6}{75}=\frac{6}{3\cdot 5^2} \longrightarrow \frac{6\cdot \color{blue}{ 5}}{ 3\cdot \color{blue}{ 5}\cdot 5^2}{ \small ,}\end{aligned} \\[5px] \)
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{13}{125}=\frac{13}{ 5^3} \longrightarrow \frac{13\cdot \color{green}{ 3}}{\color{green}{ 3}\cdot 5^3}{\small .}\end{aligned}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{6}{75}+\frac{13}{125}=\frac{6}{3\cdot 5^2} +\frac{13}{ 5^3}=\frac{6\cdot \color{blue}{ 5}}{ 3\cdot \color{blue}{ 5}\cdot 5^2}+\frac{13\cdot \color{green}{ 3}}{\color{green}{ 3}\cdot 5^3}=\frac{6\cdot 5+13\cdot 3}{3\cdot 5^3}{\small .}\)
Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем складывая, получаем:
\(\displaystyle \frac{6\cdot 5+13\cdot 3}{ 3\cdot 5^3}=\frac{30+39}{ 375}=\frac{69}{ 375 }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{69}{375}{\small .}\)