Skip to main content

Теория: Натуральный и нулевой показатель степени (параметр)

Задание

Для произвольных чисел \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) и ненулевого числа \(\displaystyle c\) найдите показатели степеней:

\(\displaystyle a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot a\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot b=a\)
\(\displaystyle \cdot \,\, b\)
\(\displaystyle \cdot \,\, c\)

 

Решение

Так как в произведении

\(\displaystyle \color{red}{a}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}\)

\(\displaystyle a\) повторяется \(\displaystyle {\bf \color{red}6}\) раз,

\(\displaystyle b\) повторяется \(\displaystyle {\bf \color{blue}6}\) раз,

и под \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) подразумеваются произвольные действительные числа, то

\(\displaystyle \color{red}{a}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{red}{a}\cdot \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}= a^{\:\bf \color{red} 6}\cdot b^{\:\bf \color{blue}6}.\)


В получившемся произведении присутствуют числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) и нет третьего числа \(\displaystyle c.\) Это означает, что число \(\displaystyle c\) встретилось ноль раз и, следовательно, в произведении оно стоит в нулевой степени:

\(\displaystyle a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}=a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot c^{\: 0}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot a\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot b= a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot c^{\: 0}.\)

Ответ: \(\displaystyle a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot c^{\: 0}.\)

 

Замечание / комментарий

Формальное доказательство присутствия ненулевого параметра \(\displaystyle c\) в нулевой степени дается следующим образом.

В произведении

\(\displaystyle a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\)

присутствуют два числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) и нет третьего числа \(\displaystyle c.\) Так как любое ненулевое число в нулевой степени – это единица, и поэтому \(\displaystyle c^{\: 0}=1,\) то

\(\displaystyle a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}=a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot \color{red}{1}= a^{\: 6}\cdot b^{\: 6}\cdot \color{red}{c}^{\: 0}.\)